《数学实验》报告班级：序号：：1．问题描述I、用蒙特卡罗方法计算以下函数在区间上的积分，并改变随机点数目观察对结果的影响。

（1）y=1/(1+x), 0=<x=<1;（2）y= (exp(3*x))*sin(2*x), 0=<x=<2 ;（3）y=(1+x^2)^0.5, 0=<x=<2;（4）y=(1/(2*pi)^0.5)*exp(-x(i)^2/2), 0=<x=<2;（5）y=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)))^2, 0=<x=<2*pi;（6）f(x,y)=exp(-x^2-y^2) 0=<x=<pi, 0=<y=<sin(x);II、用蒙特卡罗法求解全局最优化及约束问题并通过图形做出评论，求下列函数的最大值。

（1）f(x)=(1-x.^2).*sin(3*x), -2*pi=<x=<2*pi;（2）maxf(x)=x1*x2*x3,s.t.:-x1+2x2+2x3>=0,x1+2x2+2x3<=72,10<=x2<=20,x1-x2=10;（3）f(x,y)=(X.^2+2*(Y.^2)+X.*Y).*exp(-X.^2-Y.^2),abs(x)<1.5,abs(y)<1.5;2．问题分析与实验过程I、(1)使用均值估计法程序：function p=shell1(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:nu=(x(i)+1)^(-1);z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果：p=shell1(0,1,1000)p =0.6975>> p=shell1(0,1,10000)p =0.6922>> p=shell1(0,1,100)p =0.7001>> p=shell1(0,1,500)p =0.6890结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.69，说明积分值约等于0.69，但是点数越多，值越接近。

I、(2)使用均值估计法程序：function p=shell2(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:nu=(exp(3*x(i)))*sin(2*x(i));z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果：>> p=shell2(0,2,1000)p =-24.4911>> p=shell2(0,2,100)p =-43.8720>> p=shell2(0,2,10000)p =-30.8699>> p=shell2(0,2,500)p =-23.2955>> p=shell2(0,2,100000)p =-30.0058结果分析：改变了5次随机点数，结果变化较大，但是点数越多，值越接近真实积分值。

所以积分值近似于-30。

I、(3)使用均值估计法程序：function p=shell3(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:nu=(1+x(i)^2)^0.5;z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果：>> p=shell3(0,2,100)p =2.9293>> p=shell3(0,2,1000)p =2.9516>> p=shell3(0,2,10000)p =2.9512>> p=shell3(0,2,100000)p =2.9600结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于2.95，说明积分值约等于2.95，而且点数越多，值越接近真实积分值。

I、(4)使用均值估计法程序：function p=shell4(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:nu=(1/(2*pi)^0.5)*exp(-x(i)^2/2);z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果：>> p=shell4(0,2,100000)p =0.4783>> p=shell4(0,2,10000)p =0.4777>> p=shell4(0,2,1000)p =0.4765>> p=shell4(0,2,100)p =0.4432结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.47，说明积分值约等于0.47，而且点数越多，值越接近真实积分值。

I、(5)使用均值估计法程序：function p=shell5(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);for i=1:nu=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)))^2;z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果：>> p=shell5(0,2*pi,100)p =22.0140>> p=shell5(0,2*pi,1000)p =20.2718>> p=shell5(0,2*pi,10000)p =20.9394>> p=shell5(0,2*pi,100000)p =20.7968结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于20.8，说明积分值约等于20.8，而且点数越多，值越接近真实积分值。

I、(6)使用均值估计法程序：function p=shell6(a1,b1,a2,b2,n)z=0;x=unifrnd(a1,b1,1,n);y=unifrnd(a2,b2,1,n);for i=1:nif y(i)<=sin(x(i));u=exp(-x(i)^2-y(i)^2);z=z+u;endendp=(b1-a1)*(b2-a2)*z/n;运行结果：>> p=shell6(0,pi,0,1,100)p =0.4368>> p=shell6(0,pi,0,1,1000)p =0.3378>> p=shell6(0,pi,0,1,10000)p =0.3674>> p=shell6(0,pi,0,1,100000)p =0.3610结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.36，说明积分值约等于0.36，而且点数越多，值越接近真实积分值。

II、(1)使用蒙特卡罗法分析：将x在它被允许的围生成多个随机的数值，利用max函数可以近似地求出结果。

然后做出图像，进行结果的比较。

程序：function f81(n)x=unifrnd(-2*pi,2*pi,1,n);y=(1-x.^2).*sin(3*x);max(y)x=-2*pi:0.001:2*pi;y=(1-x.^2).*sin(3*x);plot(x,y)xlabel('x');ylabel('y');运行结果：>> f81(1000)ans =32.3293>> f81(10000)ans =32.4002>> f81(100000)ans =32.4006做出函数的图像，并且标出最高点的值结果分析：可以看到，蒙特卡罗法求出的最大值接近于32.4，而从图中可以看出最大值是32.33，求出的结果比较符合。

II、(2)使用均值估计法分析：由于x1=x2+10,所以可以消元，使其变为两个自变量x2和x3。

x2,x3在它们被允许的围生成多个随机的数值，利用max函数可以近似地求出结果。

然后做出图像，进行结果的比较。

程序：function f82(n)x2=unifrnd(10,20,1,n);x1=10+x2;x3=unifrnd(-10,20,1,n);for i=1:nif -x1(i)+2*x2(i)+2*x3(i)>=0if x1(i)+2*x2(i)+2*x3(i)<=72y(i)=(x1(i))*(x2(i))*(x3(i));endendendmax(y)x2=10:0.1:20;x3=-5:21/100:16;[X,Y]=meshgrid(x2,x3);err1 = X+2*Y<10;err2 = 3*X+2*Y>62;X(err1) = nan;Y(err2) = nan;Z=X.*Y.*(X+10);surf(X,Y,Z)运行结果：>> f82(1000)ans =3.3889e+03>> f82(10000)ans =3.4357e+03>> f82(100)ans =3.3726e+03>> f82(100000)ans =3.4441e+03结果分析：可以看到，蒙特卡罗法求出的最大值接近于3400，而从图中可以看出最大值是3437，求出的结果比较符合。

II、(3)使用蒙特卡罗法分析：x,y在它们被允许的围生成多个随机的数值，利用max函数可以近似地求出结果。

然后做出图像，进行结果的比较。

程序：function f83(n)x=unifrnd(-1.5,1.5,1,n);y=unifrnd(-1.5,1.5,1,n);z=(x.^2+2*(y.^2)+x.*y).*exp(-x.^2-y.^2);max(z)x=-1.5:0.1:1.5;y=-1.5:0.1:1.5;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=(X.^2+2*(Y.^2)+X.*Y).*exp(-X.^2-Y.^2);surf(X,Y,Z)运行结果：>> f83(1000)ans =0.8105>> f83(10000)ans =0.8117作出函数图，并且标出最大值结果分析：可以看到，蒙特卡罗法求出的最大值接近于0.81，而从图中可以看出最大值是0.8025，求出的结果比较符合。

3.实验总结和实验感悟这次蒙特卡洛法令我印象比较深刻，特别是可以利用多次模拟实验的方法来求圆周率，这是我以前没有接触过的。

蒙特卡洛法可以理解成一种思想，就是多次随机的实验来求近似值。

不过这种方法比较适合电脑模拟，模拟次数足够高才可以保证误差不过大，而且某些可以直接求解的问题并不需要用蒙特卡罗法来做。