南 京 财 经 大 学
经济数学基础课程习题参考答案
（一）
一、填空题
1．0 2．)(2x f '- 3．14-=x y 4.1±=x 5. )2,2(- 6. c x +cos 7. 10<<k
8.),(),(21y xy f y xy f x z y '+'=' 9.1 10. 2
x
Ce
y =).(为任意常数C 二、单项选择题 1.C 2．C 3．A 4．B 5． A
三、计算题 1. x x x x
x x 1
sin
)1(lim
1
+∞→+=
x
x x
x x x x x x x x x x
x
x 1
1
sin )1()1(lim 1sin
)1(lim 1
++∞→=
+∞→+
e e x
x x
x x x x
=⋅⋅=++∞→=
111
1
sin )
1()11(lim .
2.30
x dt
t lim
x
tan x
sin x ⎰→ =53
2306x
x cos x sin x sec x tan lim x -→ =x cos x x )x cos (x sin lim x 52363061-→=26061x x cos lim x -→ =x
x sin x cos lim x 1265
0→=21. 3.解：)(x f 在0=x 处可导，则)(x f 在0=x 处一定连续，
因此由 )(lim )(lim 0
x f x f x x +-→→= 可得 2=a ， 又 ='-
)0(f b x
bx x =-+-→2
2lim 0
， ='+
)0(f 12
)1ln(2lim 0
=-+++→x
x x . 因此由 ='-
)0(f )0(+'f 可得1=b . 4.解：令 6)sin(),,(--+=xy z e z y x F xyz ，则 )cos(xy y yze F xyz x -='，
)cos(xy x xze F xyz y
-='， 1+='xyz z xye F ，因此，
dy F F dx F F dy y z
dx x z dz z y z x ''-''-=∂∂+∂∂=
=++-dx xye yze xy y xyz
xyz 1
)cos(dy xye xze xy x xyz xyz
1)cos(+-. 5.解：令t x =-2，则dt t t f S ⎰=201)(dt t
t f dt t t f ⎰⎰+=+→21101
)(1)(lim εε 2ln 22lim 2110=-+=⎰⎰+→dt t t dt ε
ε. 6.
dx e
x x 2
3-+∞
∞
-⎰
=2221x e d x -+∞∞-⎰-⎰∞+∞---+∞-∞+-=22222121dx e e x x x ∞-∞
+-=-22
10x e
0=. 7.dx e dy dxdy e
y y x
D
y
x
⎰⎰⎰⎰-
-=210=dy ye y )(21
1⎰
-- =)1(2
3
1--e .
8.解：方程改写为 x e y x y x =+'1，则通解为 ))((1
1
c dx e x
e e y dx x x dx x
+⎰⎰=⎰-， 即
)(1c e x
y x
+=
. 四、应用题
1．解：100005025)(2++=x x x C ，x
x x C 10000
525.0)(+
+= ， 010000
25.0)(2
=-='x
x C ，得驻点 200=x . 又 0)200(>"C ，点 200=x 为极小值点，因此当 200=x 时，单位成本最小。

最小单位成本为105)200(=C （元）.
2．解：由 ⎩⎨⎧==x
y x y 22 解得 2,021==x x ，故平面图形的面积 ⎰=-=202
34)2(dx x x S .
旋转体体积 ππ15
64
)4(4
2
02
=
-=⎰dx x x V x . 五、证明题
证 函数)(x f 在闭区间],[c a 上满足拉格朗日中值定理条件，故有，
)(),()
()(11c a f a
c a f c f <<'=--ξξ，函数)(x f 在闭区间],[b c 上满足拉格朗日中值定
理条件，故有：
)(),()
()(22b c f c
b c f b f <<'=--ξξ. 因为))(,(a f a ，))(,(c f c ，
))(,(b f b 三点共线，故
c
b c f b f a c a f c f --=--)
()()()(，即))()((),()(2121b f c f a f f <'<<'<'='ξξξξ . 由)(x f '在],[21ξξ上满足罗尔定理的
条件，知存在),(21ξξξ∈，使0)(=''ξf .。