第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GBEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上,ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC DE B2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·DB4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：∠=︒GBM905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型ABPD E（第25题图）GMFEHDCBADC1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE求：点B 到直线AC 的距离。

C共享型相似三角形1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．求证：（1）△ABE ∽△ACD ；（2）CD BE BC ⋅=22．一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.例3：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．ABC备用图ABC DCADBEFABCDAB CPQABC备用图ABCD①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．CBADCBA D例4：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ． （1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．相关练习：1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么 ①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长．4、如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；BCEDCBA （第25题 EDCB A （备用图）（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围； （4）若1AE =，试求GMN ∆的面积．一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值围。

例2、在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），设y CQ x AP ==,，试求y 关于x 的函数关系，并写出定义域。

【练习1】在直角ABC ∆中，43tan ,5,90===∠B AB C o，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F （1）、求AC 和BC 的长 （2）、当BC EF //时，求BE 的长。

（3）、连结EF,当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长。

备用图QBPAE CDF A BC E F A B C E【练习2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F.(1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =(2)、当m DBAD =，求DF DE 的值 （3）、当21,6===DB AD BC AC ，设y BF x AE ==,,求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域【 练习4】]如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3tan 4B =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.【 练习5】、（2009年黄浦一模25）如图,在梯形ABCD 中，CD AB , 34tan ,4,2===C AD AB ，P DAB ADC ,900=∠=∠是腰BC 上一个动点(不含点B 、C ),作AP PQ ⊥交CD 于点Q .(图1)Q PD C B A Q P D C B A (1)求BC 的长与梯形ABCD 的面积；(2)当DQ PQ =时,求BP 的长；(图2)(3)设y CQ x BP ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.（图1）（图2）。