相似三角形1．如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE=B ．BC DFCE AD=C ．CD BCEF BE=D ．CD ADEF AF=2.如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=； ④2AC AD AB = 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.已知△ABC∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ）A ．1：2B ．1：4C ．2：1D ．4：14.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4. 其中正确的有：（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个A B D C EF1题ACD B（第2题图）【参考答案】1.A2.C3.B4.D◆考点聚焦1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，•会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．◆备考兵法1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．◆考点链接一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．◆典例精析例1（2009山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为米，那么路灯甲的高为米．【答案】9.【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为x米，由相似得1.5530x=，解得9x=，所以路灯甲的高为9米，故填9.例2（2008年浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．【答案】 P1（1，4），P2（3，4）．点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性．拓展变式在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______条．【答案】 3例3 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形A BCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）小华乙A．①③ B．③ C．① D．①②【答案】 B【解析】∵AB∥DC，∴△AEF•∽△CDF，•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA（全等是相似的特例）．∴①是错的．∵12AE EFCD DF==，∴②EF：ED=1：2是错的．∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2．∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．拓展变式点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】 C◆迎考精练一、选择题1.（2009年江苏省）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格2.（2009年浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上但有限 D．有无数个3.（2009年浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形4.(2009年浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．（2009年湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=米，OB=40米，AA′=米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB ′为（）A．3米 B ．米 C ．米 D ．米6.（2009年甘肃白银）如图，小东用长为的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12m B．10m C．8m D．7mDBAN MO7.（2009年天津市）在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（ ）A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．４，6 二、填空题1. (2009年山东滨州)在平面直角坐标系中，ABC △顶点A 的坐标为(23)，，若以原点O 为位似中心，画ABC △的位似图形A B C '''△，使ABC △与A B C '''△的相似比等于12，则点A '的坐标为 ．2.(2009年黑龙江牡丹江)如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CFAD= ．3.（2009年湖北孝感）如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．4.（2009年山东日照）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．5.（2009年福建莆田）如图，A B 、两处被池塘隔开，为了测量A B 、两处的距离，在AB 外选一适当的点C ，连接AC BC 、，并分别取线段AC BC 、的中点E F 、，测得EF =20m ，则AB =__________m ．E（第4题图）AB ′CFB AE F DG CB第2题三、解答题1.（2009年湖南郴州）如图，在ABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3，（1）求ADAB的值，（2）求BC 的长2.（2009年湖南常德）如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗请证明你的结论．3.(2009年湖北武汉)如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2ACAB=时，如图2，求OF OE 的值；（3）当O 为AC 边中点，ACn AB=时，请直接写出OF OE 的值．BBAACOE D DE COF图1图2F A E CF B 第5题图A CBDE4.（2009年安徽）如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB＝AF ＝3，求FG 的长．5.（2009年吉林省）如图，⊙O 中，弦AB CD 、相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至点F ，使DF AD =，连接BC 、BF ．（1）求证：CBE AFB △∽△； （2）当58BE FB =时，求CBAD 的值第5题图FBABMF G DEC 第4题图6.(2009年广东梅州)如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：CDF BGF △∽△；（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．【参考答案】 选择题 1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. A 7. A 填空题 1. （4，6） 2.123. 144D C FE AG6题4.712或2; 5. 40 解答题1. 解：（1）∵48AD DB ，∴4812AB ADDB∴41123AD AB （2）∵DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△∴DE ADBCAB∵3DE∴313BC∴9BC2. △ABE 与△ADC 相似．理由如下： 在△ABE 与△ADC 中∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE =90o， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的高， ∴∠ADC =90o， ∴∠ABE =∠ADC ． 又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA =∠DCA ． ∴△ABE ～△ADC ．3. 解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°．90BAC BAF C ∠=∴∠=∠°，． 90OE OB BOA COE ∴∠+∠=⊥，°， 90BOA ABF ∠+∠=°，ABF COE ∴∠=∠． ABF COE ∴△∽△；BADE CF G（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ．2AC AB =，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==．由（1）有ABF COE △∽△，ABF COE ∴△≌△，BF OE ∴=．90BAD DAC ∠+∠=°，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，，又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =．ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==．OG OA ⊥，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OG BF AB ∴=，2OF OF OG OE BF AB ===．解法二：902BAC AC AB AD BC ∠==°，，⊥于D ，Rt Rt BAD BCA ∴△∽△．2AD AC BD AB∴==． 设1AB =，则2AC BC BO ===，12AD BD AD ∴=== 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴°，△∽△，BD BO DF OE∴=． 由（1）知BF OE =，设OE BF x ==，5DF ∴=x ∴=． 在DFB △中2211510x x =+，3x ∴=．OF OB BF ∴=-==322OF OE ∴==． （3）OF n OE=． 4. （1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠BBA D E CO F∴△AMF ∽△BGM ．（2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM＝又∵AMF ∽△BGM ，∴AF BM AM BG=∴283AM BM BG AF === 又4AC BC ===，∴84433CG =-=，431CF =-= ∴53FG == 5. （1）证明：,,AE EB AD DF ==ED ∴是ABF △的中位线，ED ∴,BF ∥ ,CEB ABF ∴∠=∠又,C A ∠=∠,CBE AFB ∴△∽△ （2）解：由（1）知，CBE AFB △∽△,5.8CB BE AF FB ∴== 又2,AF AD =54CB AD ∴=． 6. （1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥，∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，，∴CDF BGF △∽△．（2） 由（1）CDF BGF △∽△，又F 是BC 的中点，BF FC =∴CDF BGF △≌△，∴DF FG CD BG ==，,又∵EF CD ∥，AB CD ∥ D C F E A B G 6题图∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+． ∴22462BG EF AB =-=⨯-=， ∴2cm CD BG ==．。