1980年全国高考数学试题及其解析
N=b x
=(a logab)x=a xlogab,
∴xlog a b=log a N.
∵b≠1,log a b≠0,
五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.
设平面N与平面M的交线为l.
∵PA⊥平面M,∴PA⊥l.
又∵PB⊥平面N,∴PB⊥l.
∴l⊥平面PAB,∴l⊥AB.
六、解:(1)M=1,m=-1,
(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.
而任意两个整数间的距离都≥1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期≤1.
可见,k=32就是这样的最小正整数.
七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,
则AD=c-x.
即x2=c(c-x),
即x2+cx-c2=0,
∵取负号不合题意,
又依直角三角形的性质,有
AC2=AD·AB=c(c-x).
但x2=c(c-x),∴AC2=x2,
解法二:由题设有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB), ∴BD2=AD·AB.
但AC2=AD·AB,
∴BD=AC.
两端乘以正数sin,问题化为证明
2sin sin2≤1+cos.
而2sin sin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos
=4(1-cos)(1+cos)cos.
所以问题又化为证明不等式
(1+cos)[4(1-cos)cos-1]≤0.
8t2(1-t2)≤(1+t2)2,
即-9t4+6t2-1≤0,
-(3t2-1)2≤0.
∴不等式成立.
九、解:设圆的方程为
(x-k)2+y2=1.
再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).
在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.
由(1)、(2)式消去y0,得x0=-k,
将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,
将x0=-k代入,得4k2-2k-1=0,
由于对称性,圆与抛物线的另一交点(x0,-y0)处的切线也互相垂直.
附加题
解法一:消去参数,得
消去y,整理得
(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.
(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0.
化简并约去a2得
(a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0.
对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是
即为所求的条件.
解法二:
直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.
如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点.
如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.
因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上.
要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是│a│≥1;这时,(E)与y轴的
文史类参考答案及解析
一、解：原式=.137139i - 二、解略：方程组的解为⎪⎩
⎪⎨⎧--==321z y x
三、证：将圆的直径AB 所在的直线取为X 轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是
x 2+y 2=1.
A 、
B 的坐标是A （-1，0）、B （1，0）。
设P(x,y)是圆上任一点，则有y 2=1-x 2.∵PA 的斜
率为11+=x y
k ，
PB 的斜率为12-=
x y k ， ∴11
11222221-=--=-=x x x y k k ∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角。
四、解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x%，则按题意，1980年的轻工业产值为
)100
24()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a 解得：x=32。
答：略。
五、解：
)4sin()cos )(sin 4sin(22π
θθθθπ+++=原式
,234,4543.)4
sin()4sin()4sin()4(sin 2ππθππθππθπθπθπθ<+<∴<<++=++=
.1,0)4
sin(-=∴<π+θ∴原式
六、证：1。
S △ABC =S △ADC ，
且△ABC 与△ADC 有同底AC ，
∴两高线相等：BE=DF 。
设AC 与BD 交于点O ，则
Rt △BOE ≌Rt △DOF 。
∴OB=OD 。
即AC 平分BD 。
（若E 、O 、F 重合、则已有BO=BE=DF=DO ）
2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形。
这个逆命题是正确的。
证明如下：在上图中，由于OB=OD ，∠BOE=∠DOF （对顶角）， ∠BEO=∠DFO=Rt ∠，∴△BOE ≌△DOF 。
∴BE=DF ，即两高线相等。
∴S △ABC =21AC ·BE=2
1AC ·DF=S △ADC 。
七、解：1..,D B A A D C B A A A ''⊥'∴''''⊥'平面 E A D B E A A D B D B AE '⊥'''⊥''∴''⊥因此平面又,
,
八、解：1.利用公式sec 2t=1+tg 2t,得.4
122y x += ∴曲线的直角坐标普通方程为
.142
2
=-y x 图略。
2．当2
0π<≤t 时，x ≥1，y ≥0,得到的是曲线在第一象限的部分（包括（1，0）点）; 当23π<≤πt 时，x ≤-1，y ≥0,得到的是曲线在第二象限的部分（包括（-1，0）点）。
.
68.46.38.4,
8686)2(.22222=+=='∴+⨯'=⨯∴'''∆''⋅'=''⋅''AE E A E A D B A D B E A D A B A 倍面积的都是。