《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。

2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。

3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。

4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。

5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。

6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。

7. 设行列式014900716=--k，则=k （ ）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）14. 若排列n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（ ）15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。

16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。

23. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ） 24. 设A 为n 阶方阵，若I 2A -A -7=0，求()13A I --=（ ） 25. 如果24211()|x Ax Bx -++，则A =（ ），B =（ ）。

26. 若行列式125132025x -=，则x =（ ）。

27. 向量α线性无关的充要条件是（ ）28. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。

29. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）30. 当a = 时，线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解二、计算题31. 已知b ax x x x x f +++-=23463)(，12-=x x g )(.b a ,为何值时，)(x g 能整除)(x f 。

32. 计算下列n 级行列式：xa a ax a aa x33. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321ηηη,,是它的三个解向量且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43215432321ηηη,求该方程组的通解。

34. 求矩阵A 的逆矩阵： 1200340000430012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭35. 设向量组 123111131226240ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，求向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余量线性表示。

36. 证明多项式1073234+-+-=x x x x x f )(在有理数域上不可约。

37. 设A 为n 阶方阵，若k A =0，证明I A -可逆，并求()1I A --38. 计算n 阶行列式D =nn n n n n n nnnn n n 32139. 设矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡31000270000520031，求1-A 40. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410011103A ，且满足X A AX 2+=，求矩阵X 41. 当λ为何值时方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 无解，有唯一解，有无穷多解。

42. 设向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11021α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10112α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00113α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=11204α求向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余向量线性表示。

43. 计算行列式2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a44. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-01117840246303542432143214321x x x x x x x x x x x x45. 设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭且AB A B =+2，求B 。

46. 求下列多项式的有理根：1415623-+-x x x 47. 当λ为何值时，线性方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ-++=⎧⎪-+=⎨⎪-++=-⎩无解，有唯一解或有无穷多解。

48. 计算n 阶行列式00000000nx y x y D x y y x=49. 求矩阵A 的逆矩阵：1400230000430012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭50. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43110412A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=204131210131B ， 求)'(AB51. 设122013421102A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 564b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求b Ax =的通解52. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321ηηη,,是它的三个解向量且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43215432321ηηη,求该方程组的通解。

53. 计算n 阶行列式D =nn nn 111111111111 54. 已知1123P ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1002⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭，且Λ=-AP P 1，求A 及kA （k 是正整数）。

55. 设X =AX +B ，其中A =010111101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，B =112053-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，求X 。

56. 求下列齐次线性方程组的基础解系, 并写出其通解:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x57. 设向量组1102α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 2320α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3211α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,4235α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵的列向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余的列向量线性表示。

三、证明题1 （略）……答案一、填空题1 1. 0 2. 相3. 89-4. 0A ≠5. 1000-⎛⎫ ⎪⎝⎭6. 07. 48. 42-9. 111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10. 40- 11. n s -12. 存在多项式(),()u x v x 使得()()()()1u x f x v x g x += 13. 1((),())f x f x '=14. 112()n n k --15. 12,a =16. 秩（A ）= 秩（A,B ）17. 1100A X C --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 18. 相19. ()|()p x f x 20. 48-21. 相 22. -1 23. 024. 2A I + 25. 12,A B ==- 26. 327. 0α≠28. 1000-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 29. 42- 30. 12,a =二、计算题31. (法一)()g x 除()f x 的余式为37()()()r x a x b =-++（5分）。

()g x 整除()f x 的条件是0()r x =，即37,a b ==-（5分）。

（法二）()g x 的根为1±，故()g x 整除()f x 的条件是(1)0,(1)0f f =-=，（6分）即40,100a b a b ++=-++=解得3,7a b ==-。

（4分）32.111001110[()][()]x a a a a a a a x a x a x a x n a x n a a axaxx a-=+-=+--11[()]()n x n a x a -=+--（10分）33. 此方程组的导出组的基础解系含有431-=个解向量（2分），而12334256()ξηηη⎛⎫ ⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是导出组的一个非零解，故ξ就是此方程组的一个基础解系（6分）。

所以，方程组的通解为1k ηξη=+ （k 为任意常数）（2分）34. 解：设1234B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4312C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则B O A O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------(2分)111B O A OC ---⎛⎫=⎪⎝⎭----(2分) 又1213122B --⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭，123551455C -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-------(4分) 故12100310022230055140055A --⎛⎫⎪ ⎪- ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭------------------------------------------------(2分) 35. 解：()123111*********,,226000240000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--------------------（4分） 故()123,,2R ααα=------（2分）()12,αα是一个极大无关组，且3122ααα=-（4分）36. 432111317110()()()()()()g x f x x x x x =+=+-+++-++432366x x x =+++ （3分）取素数3p =，由Eisenstein 判别法可知()g x 在有理数域上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。