机械振动
振动类型：机械振动，交流电中电流和电压的振动，电磁学中电场和磁场的振动等。

这些振的物理本质不同，但遵守的基本规律相同。

机械振动形象直观，最简单的机械振动是简谐运动。

1．简谐运动物体的受力特征：
质点离开平衡位置后所受合力是线性回复力 kx F -= 式中 x 为质点相对于平衡位置的位移，k 为力常数。

2．简谐运动的矢量图示分析法：
如图所示，矢量OP 绕x 轴上的坐标原点O 沿逆时针方向匀速转动，则P 做匀速圆周运动，P 在x 轴上的投影点Q 的运动就
是简谐运动，O 为平衡位置，OP 的长为振幅值。

简谐运动的周
期等于圆周运动的周期。

这种用旋转矢量表示简谐运动的方法称为矢量图示法。

P 通过的圆为参考圆。

3．简谐运动的位移、速度和加速度方程 如图，令OP 长为A ，其旋转角速度为ω，在t=0时矢量OP
与x 夹角为φ0，则经过时间t ，P 在x 轴上投影点Q 的位移为()0cos φω+==t A OQ x ，此方程即为简谐运动的位移方程。

参考圆上参考点P 的线速度v P 在x 轴上的投影就等于Q 点作简谐运动的速度⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++=2cos 0πφωt v v P ，式中A v P ω=为速度的幅值。

参考圆上参考点P 的向心加速度a P 在x 轴上的投影就等于Q 点做简谐运动的加速度()0cos φω+-=t a a P 。

其中A a P 2ω=为加速度的幅值。

4．简谐运动的图象
图象是从另一角度来描述物体的运动特征的，它与方程相比
较具有形象直观的特点。

如下图中的甲、乙、丙三图分别表示简谐运动物体的位移——时间，速度——时间，加速度——时间图象。

2π（或者说落后2
），加速度相位比位移相位超前π（或者说落后π）。

5．简谐运动的固有周期和频率
由牛顿第二定律和简谐运动的受力特征有 x m
k m F a -==回
………………① 由位移方程)c o s (0ϕω+=t A x 和加速度方程)c o s (02ϕωω+-=t A a 可得
x a 2ω-= ……………②
联立①②两式可得m k =2ω，又T πω2=代入可得k
m T π2=其固有周期由系统本身的特性决定，与其他外部因素无关。

单摆的周期g
l T π2=，要注意在实际问题中l 和g 的含义。

在具体问题中要能准确地求出其等效摆长和等效重力加速度。

（1）等效摆长的确定：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。

（2）等效重力加速度的确定：通常情况下先确定摆球在系统中相对于悬点静止时的位置，再找出此状态下摆线的拉力F′，则等效重力加速度m
F g '='，特殊情况下，如所受其他外力始终沿绳所在直线方向，如带电粒子所受洛仑兹力，则该力不会改变其振动周期。

6．简谐运动的能量 动能：)(sin 2
1)(sin 212102202222ϕωϕωω+=+==
t kA t A m mv E k 势能：)(cos 2
1210222ϕω+==t kA kx E P 总能量：221kA E E E k P =+= 7．阻尼振动
振动系统在阻尼介质中振动时，由于阻力的作用，振幅逐渐减小，这种振动称为阻尼振动，对于一定的振动物体，有阻尼比无阻尼时的周期要长些。

且阻尼越大，其周期越长。

8．受迫振动与共振
振动系统在周期性外力（该外力可称为策动力或驱动力）作用下的振动叫受迫振动。

受迫振动的频率等于驱动力频率，与物体的固有频率无关，但其振幅由固有频率和驱动力频率的关系来确定。

驱动力频率与物体固有频率相差越大，振幅越小；两者越接近振幅越大；当外界驱动力频率与系统自身的固有频率相等时，受迫振动的振幅达最大值，这种现象称为共振。

【例题1】三根长均为L=2m ，质量均匀的直杆，构成一个正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动。

杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示。

现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动
是一种什么样的运动。

【例题2】半径为R 的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同的小重物相比可以忽略不计。

在环上与两个小重物等距外钻一个小孔O ，如下图所示，
将孔穿过墙壁上的钉子而把
A B
环悬挂起来，使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小的简谐运动，两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2α表示。

求此装置的振动周期，摆长L 为多少的单摆自由振动的周期和图示的摆相同。

【例题3】如图所示是一种记录地震装置的一种摆，质量为m 的摆球固定在边长为L ，质量可以忽略不计的等边三角形的顶点A 上，其对边BC 跟竖直线成α角，摆球可绕固定轴BC 摆转，求摆球作微小振动的周期。

【例题4】如图所示，在劲度系数为K 的弹簧下面悬挂一质量为M 的盘。

盘不动时，一个质量为m 的质点自高h 处落入盘中，与盘发生完全非弹性碰撞，以碰后瞬时为计时起点，求盘子的振动方程。

【例题5】如图所示，A 、B 两物叠放在光滑的水平面上，弹簧一端固定，另一端与物体B 连接，O 是平衡位置，用力把物体拉离平衡位置后无初速度释放，物体将在水平面内作简谐运动。

已知物体A 的质量m=50g ，物体B 的质量M=100g ，A 与B 间最大静摩擦力f m =0.32N ，弹簧劲度系数K 0=9.6N/m ，不计弹簧质量和空气阻力，求：
（1）要使A 、B 间在振动中不发生相对滑动，振幅最大为多少？
（2）若使两物体以最大的振幅运动，取水平向右为位移x 的正方向，从物体位移大小为振幅一半并指向平衡位置沿x 轴正方向运动时开始计时。

求初相、振动圆频率、振动方程。

《机械振动》专题练习
1．如图所示，将质量为m 的木块向右拉开一定距离后释放，木块在有摩擦的水平地面做减幅振动。

弹簧第一次恢复原长时木块速率为v 0，则木块在整个振动过程中出现速率为v 0的位置有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 2．如图所示，在质量为M 的无下底的木箱顶部，用一轻弹
簧悬挂一质量均为m （M ＞＞ m ）的A 、B 两物体，箱子放于水平地面
上，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 作简谐运动，当A 运动到最高
点时，木箱对地面的压力为（ ）
A 、Mg
B 、（M-m ）g
C 、（M+m ）g
D 、（M+2m ）g 3．摆钟摆锤的运动可以近似看成简谐运动。

如果摆长为L 1的摆
钟在一段时间内快了△t ，另一摆长为L 2的摆钟在相同时间内慢了
△t ，则准确钟的摆长L 应为多少？
4．如图所示，在两个向相反方向转动的小轴上水平地放一均匀木板，木板质量为m ，两个轴心间距离为2L ，木板与两轴间的摩擦因素均为μ。

木板最初位置是其重心偏离中线OO′的右边x 的位置处。

试证明木板在轴产生的摩擦力的作用下的运动是简谐运动。

5．一质量为100g的单摆作简谐运动，其振幅为10cm，周期为4s，当t=0时，位移为正10cm，求：（1）在t=1s时物体所在的位置；（2）在t=1s时物体所受力的大小；
（3）由起始位置运动到第一次位于x = 5cm处所需时间
6．如图所示，在光滑水平面的两端对立着两堵竖直的墙M和N，把一劲度系数为k的弹簧的左端固定于墙M上，在弹簧右端系一质量为m的物体A。

用外力压弹簧使物体A从平衡位置向左移动距离s0，紧靠A放一个质量也是m的物体B，使弹簧、A和B均处于静止状态。

然后撤去外力，由于弹簧的弹力作用，物体开始向右滑动。

（1）在什么位置物体A和B分离？分离时物体B的速率多大？
（2）物体B离开A后继续向右滑动，与墙N发生完全弹性碰撞，N和O之间距离x应满足什么条件，才能使B在返回时恰好在O点与A相遇？
7．一单摆由一根长为L的刚性轻杆和杆端重物组成，做振幅较小的振动。

若在杆上某一点再固定一个和杆端重物相同的重物，使单摆变成一复摆，求摆的振动周期最多能改变百分之几？
8、如图所示，弹簧和细绳质量可忽略，不计摩擦，m 1、m 2、M 及k 均为已知。

设细绳较长，能使滑轮上下振动，求滑轮振动周期。

9．一大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为ρ1和ρ2（ρ1＜ρ2），现让一长为L ，密度为
)(2121ρρ+的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为L 4
3，由静止开始下落，试计算木棍到达最低处所需的时间。

假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器底相碰。

2 m。