计算机辅助工程—非线性分析总结
与线性分析相比，非线性分析需要大量的计算机时和空间。线性和非线性 分析采用了基本相同的单元库，以便能够在需要时方便地把现有的线性分析模 型转换为非线性模型。 非线性分析与线性分析在步骤上有许多相同的地方。如首先建立有限元分 析单元节点模型，并且按照实际结构中的情况定义载荷、温度和约束条件。不 同之处在于对建立的求解平衡方程，需要设定载荷作用过程的计算时间间隔， 同时分析结果（包括位移、应变、应力等）将在这些设定的离散时间间隔上得 到。
在进行非线性问题的计算时，分析人员经常面对的一个问题是如何确定载荷
步的大小。对几何非线性分析或材料非线性塑性分析，选择自适应载荷控制作为 加载方式时，用户仅需要确定加载的第一步长，而后续的加载步长根据下述规则 来确定。 （1）软件通过式（7）调整第n个解算点的加载步长：
n n1 * N d / N n1
1/ 2
（11）
式中 为位移、作用力或应变 （3）Maximum 最大值范数。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
max
i
i
允许值
（12）
式中 为位移、作用力或应变；
i 1,, n；n 为矢量长度。
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
2. Vector Type（矢量类型）

图1 材料非线性特性
计算机辅助工程—非线性分析总结
1. 什么是有限元分析非线性问题？Leabharlann 2. 非线性问题的求解方法？
3. 塑性变形——塑性力学问题？（失稳、屈曲分析）
计算机辅助工程—非线性分析总结
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法求解是困难的。 材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格 式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性 分析。一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段， 材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。 几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡
些情况中。载荷/侥度平衡曲线上具有临界点。弧长控制法可以在全局内跟踪具有 临界点的高度非线性平衡曲线。
图2 . Snap through；
Snap back；
Collapse
计算机辅助工程—非线性求解过程
当选择了弧长控制加载法，应用“ Crisfield”提出的“球面弧长”法沿平衡曲
线进行非线性解的搜索。球面弧长法采用比例加载，只允许采用一种载荷工况定 义参考载荷。求解中程序自动搜索弧长，调整方法采用如下规则：
求解非线性问题的方法可分为三类 ，即增量法、迭代法和混合法。 增量法是将载荷划分为许多增量，每次施加一个载荷增量。在一个载荷增量 中，假定刚度矩阵是常数；在不同载荷增量中，刚度矩阵可以有不同的数值，并 与应力—应变关系相对应。迭代法在每次迭代过程中都施加全部载荷，但逐步修 改位移和应变，使之满足非线性的应力—应变关系。混合法同时采用了增量法和 迭代法，即载荷也划分为载荷增量，但增量个数较少；而对每一个载荷增量，进 行迭代计算。 Newton-Raphson方法
该方法特别适合于包含有结构刚度快速变化的问题。
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
非线性静力分析的收敛准则
对于每一分析时间段，用户可以设定程序用于确定计算是否达到收敛准则。 1. 收敛范数类型。 设置收敛的公式。收敛值根据迭代步上的位移增量，作用力增量，应力增量 或应变增量与总位移，总作用力，总应力或总应变相比较得到。 收敛标准类型标出该比值如何计算。可以从以下三种不同标准类型中选择： （1）Absolute 绝对值。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
1 2 n 允许值 1 2 n
式中 为位移、作用力或应变
（10）
计算机辅助工程—非线性求解收敛准则
（2）Euclidean 欧拉范数。 选择该项，程序运用下式计算比率和检测收敛情况：
1 n 允许值 1/ 2 n 1
a K
n
n 1 T
P
n
f
（5）
其中
n KT KT a n , P n P a n
（6）
由于Taylor展开式（2）式仅取线性项，所以 求解过程直至满足收敛要求。
a n 1 仍是近似解，应重复上述迭代
计算机辅助工程—非线性求解过程
非线性求解过程
尽管非线性分析比线性分析变得更加复杂，但处理基本相同。只是在非线形
方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变。这两类非线性 问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组。
材料非线性问题可以分成两类。一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特
点是当载荷作用以后，材料变形立即发生，并且不再随时间而变化。另一类是 依赖于时间的黏（弹、塑）性问题，其特点是当载荷作用以后，材料不仅立即 发生变形，而且变形随时间而继续变化，在载荷保持不变条件下，由于材料黏 性而继续增长的变形称为蠕变。另外在变形保持不变条件下，由于材料黏性而 使应力衰减称之为松弛。
非线性分析过程中时间的应用取决于所选的材料模型。对于线性材料或塑
性非线性材料分析，时间可以看成是考虑载荷作用历程的简便途径，但时间本 身在分析过程中不起作用。但如果选择的是蠕变材料模型，则必须对蠕变应变 率在时间域进行积分。使用非线性求解器进行材料非线性分析之前，必须定义 塑性和蠕变选项。
计算机辅助工程—非线性分析总结


a
且有
n 1
d n a a 0 da n
n
（2）
a n1 a n a n
d 式中 是切线矩阵，即 da
（3）
d dp KT a da da
（4）
计算机辅助工程—Newton-Raphson方法
于是从（2）式可以得到
必须依据真实应力和真实（或对数）应变表示。
计算机辅助工程—非线性求解过程
非线性求解过程
步骤2：加载且得到解 在这一步中，你定义分析类型和选项，指定载荷步选项，开始有限无求解。既 然非线性求解经常要求多个载荷增量，且总是需要平衡迭代，它不同于线性求解。 步骤3：考察结果 来自非线性静态分析的结果主要由位移，应力，应变，以及反作用力组成。可 以用通用后处理器及专用后处理模块来考察这些结果。 1、检查你的输出文件是否在所有的子步分析都收敛。 · 如果不收敛，你可能不想后处理结果，而是想确定为什么收敛失败。 · 如果你的解收敛，那么继续进行后处理。 2、读取需要的载荷步和子步结果，这可以依据载荷步和子步号或者时间来识别， 然而，不能依据时间识别出弧长结果。
式中 刚度参数与旧的当前刚度参数之比。
（8）
n 1 为第n-1点载荷比例因子； kratioo 为新的当前 n 为第n点载荷比例因子；
（3）如果在最大迭代次数之内不能收敛，程序将比例因子的大小减半，继续
进行求解。
（4）如果计算结果在第 n 子载荷步发散，程序将改变子载荷步并在新的解算 点重新进行计算。新的第n 载荷因子通过下式计算：
计算机辅助工程—非线性分析总结
根据形成原因不同，结构非线性可分为三种类型 1）材料非线性——由于材料本身非线性的应力应变关系导致的结构响应 的非线性行为； 2）结构非线性——变化的几何形状引起的结构非线性响应； 3）状态非线性——结构所处的状态的不同引起的结构响应的得线性，如 接触状态。

P

（a）应力—应变关系 （b）荷载—位移关系
（1）利用初始子载荷步确定初始弧长。
（2）利用（7）和式（8）调整第n步求解步的弧长。 （3）如果求解过程在最大迭代次数之内不能收敛，程序将比例因子的值减半，
并继续进行求解。
（4）如果计算结果在第 n步子载荷步发散，程序将改变子载荷步并在新的解 算点重新进行计算。新的第n个弧长通过式（9）确定。
（5）当计算并输出用户要求的解算点数时，程序自动停止运行。
n no * Ndiv / Nmax
（9）
计算机辅助工程—非线性求解过程
n 为第n点载荷比例因子； no 为旧的第n点载荷比例因子； N div 为检测到发 散之前的迭代次数； N max 为达到收敛所需的最大迭代次数。
式中 （5）当达到设定的载荷水平，或者应用当前刚度参数在平衡曲线探测到了临 界点，程序将停止计算。 2. 自适应载荷、弧长控制 采用自适应载荷、弧长控制可进行几何非线性与（或）材料非线性分析。 用户确定初始载荷步长，分析过程从自适应载荷控制开始，后续过程遵从上 述所述的载荷控制法步骤的（1）~（4）步。但当程序在平衡曲线上检查到临界点 时，采用下文所述的弧长控制法。同时，临界点的加载条件作为弧长控制法的参 考载荷。
a P a f K a a f 0
K a a Q
（1）
计算机辅助工程—Newton-Raphson方法
如果方程（1）式的第n次近似解 a n 已经得到，一般情况下（1）式不能精确地 n 1 n 被满足，即 a 0 。为得到进一步的近似解 a ，可将 a n 1 表示成在 a 附近的仅保留线性项的Taylor展开式，即
分析的适当过程中，添加了需要的非线形特性。 如何进行非线性静态分析 非线性静态分析是静态分析的一种特殊形式。如同任何静态分析，处理流程 主要由三个主要步骤组成： 1、建模。 2、加载且得到解。
3、考察结果。
步骤1：建模 这一步对线性和非线性分析都是必需的，尽管非线性分析在这一步中可能包 括特殊的单元或非线性材料性质，如果模型中包含大应变效应，应力 ─应变数据
n 1 为第n-1点载荷比例因子； n 为第n点载荷比例因子； Nd 迭代次数； N n 1 为在第n-1子载荷步所需的迭代次数。