静电场是有源无旋场 稳恒磁场无源有旋场 静电场的高斯定理反映了电荷以发散的方式激发电场，
凡有电荷的地方，必有电场线从那里发出或汇聚 安培环路定理反映了电流以涡旋的方式激发磁场，凡
有电流地方，其周围必围绕着闭合的磁感应线
静电场
E dl 0
l
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
E
S
dS
1
ε 0
解 (1) 导体中的电流密度为
J I π (a2 b2)
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
利用补偿法
半径为a的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B1，半 径为b的实心圆柱体在M点产生的磁感强度为B2，其上 通过的电流方向相反，电流密度相同。
磁感强度用安培环路定理计算
r
设M点到O点的距离为r,
a
B1
vv
11.6 安培环路定理
11.6.1 安培环路定理 11.6.2 安培环路定理的应用
一、安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B 沿任意 闭合曲线的线积分（也称B 的环流）,等于穿过该积分 回路的所有电流强度的代数和的 倍0 。
B dl 0I 与环路成右旋关系的电流取正
L
例：
I4
B dl μ0(I1 I2 2I3)
3）计算 r
I ri
Ñ 4）由
B dl
L
0
I 求B i
1：“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布
电流及其产生的磁场具有轴对称分布
I
作积分回路如图
R
r R
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
I
l
则：B
μ 0
I
2πr
r
B
如图示，当 r 时R
作积分回路如图
则B沿该闭合回路的环流为：
B
l
dl
Bdl
l
2πrB B
μ 0
I
根据安培环路定理： 2πR
B
dl
μ 0
I
l
μI 0πR
πr
2
2
则：B
μ 0
Ir
2πR 2
0I Bo
2π R
oR
I
R
I
r
R
r
讨论：无限
长圆柱面电
流I 的磁场
r
练习题：同轴的两无限长 筒状导线通有等值反向的 电流I,求其磁场分布。
讨论： 如图所示一段导线可以用安培环路定理求出B吗？
θ1 θ2 / 4
B dl
L
L
0I
4a
cos1
cos
2
dl
0I 2 2 2a
4a 2
I
2
a
L 1
0 2I
2
0I
☆ 安培环路定理只适用于闭合的载流导线（或无限
长），对于任意设想的一段载流导线不成立！！
⑤安培环路定理揭示了磁场的基本性质，磁场是涡旋 的，而电流是磁场涡旋的中心。磁场是无源有旋场， 是非保守场，故不能引入势能的概念。
qi
电场线起于正电荷、
止于负电荷。
静电场是有源场
稳恒磁场
B
dl
μ 0
I
i
l
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
B dS 0
S
磁感应线闭合、 稳恒磁场是无源
场
二、安培环路定理的应用
利用安培环路定理可以求解具有对称性稳恒电流的 磁场分布
解题要点:
1）分析磁场特点，选择适当的积分回路
vv
2）计算 ÑL B dl
单位长窄条，其面积为
dS 。
dS=1·dx
R
S
dx
窄条处的磁感应强度
B
0
2π
Ix R2
通过dS的磁通量为
1m
dΦ BdS
0
2π
Ix R2
dx
通过S的磁通量为
Φ dΦ R 0 Ix dx 0I
0 2π R2
4π
2：无限长直载流螺线管内的磁场分布 已知：I、n(单位长度线圈匝数)
...............
I1 I2
I3
l
L
关于安培环路定理的讨论： ①若电流方向与环路的正方向满足右旋关系，则：
I 0 否则 I 0
②
μ 0
中I
为I穿过环路总电流，环路外不计。
③磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路 上一点的磁强是由环路内、外电流共同产生的。
④此定理仅适用于稳恒电流产生的磁场，故定理仅适用 于闭合的或者无限长的载流导线，而对于回路中的某 一段导线或电流元是不成立的。
得： B μ0nI
无限长直载流螺线管内的磁场： B μ0nI
例3：环形载流螺线管内的磁场分布
已知：I 、N、R1、R2 N — 导线总匝数
.. . . .
.
.
磁感应线分布如图 作积分回路如图
. . .
o R1
则B沿该闭合回路的环流为：
B dl Bdl 2πrB
l
l
...
... .
.. .
( 1 ) r R2 , B 0
R2
I
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
( 3 ) r R1 , B 0
R1
rI
例题11.6：一根长直圆柱形铜导体载有电流I，均匀分布 于截面上。在导体内部，通过圆柱中心轴线作一平面S。 试计算通过每米长导线内S平面的磁通量。
解 在距离导线中心轴线
为x与x+dx处，作一个
思考题：
L1
I1
r1 A
I2 r2
求 B dl ? L1
A点的磁感应强度B =？
例4：半径为a的无限长金属圆柱体内挖去一半径为 b(b<a)的无限长柱体，两柱体轴线平行，轴间距d ( d <(ab) )。空心导体沿轴向通有电流I并沿截面均匀分 布。(1) 求此二柱体轴线联线上任一点M的B；(2) 证明 腔内磁场是均匀磁场。
r
R2
. ..
.. . . . . . .
.
根据安培环路定理：
B
dl
μ 0
NI
l
B 0 NI 2r
若 R、1 R2 R2 R1
n N
2 r
则： B μ0nI
B
.. .
. .. .
. . .
o
R1
.
..
... .
.. .
r
R2
. ..
.. . . . . . .
.
o
R1
R2
r
关于安培环路定理的应用 1、注意应用范围：磁场具有某种空间对称性。 2、积分环路的选择: ①环路必须通过所求场点。 ②环路上各点B 的大小相等，B 的方向平行于线元dl
或一部分环路B 的方向垂直于线元dl，或某一部分 环路上B =0 。 ③闭合环路的形状尽可能简单，总长度可求。 3、注意环路方向与电流方向的右旋关系。
Ñ B1 dl B1 2πr 0πr2J
J
B2 b O M O
v
B1
v
μ0 Jr 2
B
I
分析对称性 管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
选择环路如图所示：
.............. B
则B沿该闭合回路的环流为： a
b
B dl
l
d
c
I
b
c
d
a
B dl B dl B dl B dl Bab
a
b
c
d
根据安培环路定理： B dl Bab μ0nabI l
