8.2 磁场的高斯定理(Gauss Law for Magnetic Field)
一、磁感应线和磁通量 (Magnetic field lines and magnetic flux)
1、规定： • 方向：曲线上每一点的切线方向 表示该点磁感应强度的方向；
• 大小：该点附近磁力线的疏密 表示该点磁感应强度的大小。 2、特性
8.3 安培环路定理及其应用
一、安培环路定理（Ampere’s Law) 静电场
I1
0
E dl
L
I3
B dl
L

0
I
i
i
安培环路定理
L1
I2
分，等于穿过该环路的所有电流的代数和的 0倍。
在恒定磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭合环路的线积
磁场 B 沿任意闭合路径的线积分不恒等于零，具有这种性
L1 L1
dl

L1

L2 0 I 0 I rd 2 r 2
L1
d I
0
d
r

I
L1
2、 证明L2路径
L2
B dl Bdl cos Bdl cos
L2 0 0 2 r 2 L L 2 2
L2
空间任意一点的磁感应强度 B 由 所有的电流贡献，而 B 的环流由 环路所围绕的电流贡献！
I2
二、安培环路定理的证明
以无限长直载流导线为例证明
I
B L2
d
dl
r

L1
1、 证明L1路径
B dl I
0 L i
i
B
L1
B dl Bdl cos Brd
L2
L2
L2
3、证明L3路径
I
B dl I
0 L i
内
垂直
B
dl
水平
微元dl 总是可分解成垂直和水平两个分量，而B总是在 平面内(或平行平面 )，所以最后垂直分量的环流等于零， L3 只有在平面内的水平分量的环流，这和上面一样求得。
说明
1、对于闭合的稳恒电流，只有与L相绞链的 电流，才算被L包围的电流；
I2
B dl
L
0 I内
i
I3 I1
I4
L
2、安培环路定理表达式右端中的电流和只是闭合路径所包围 的电流；但左端中的B却是空间所有电流产生的磁场，其中也 包括那些不被L所包围的电流产生的磁场，只不过是后者的磁 场对沿 L 的 B 的环流无贡献。 三. 安培环路定理在解场方面的应用 步骤： 1) 由电流的分布来分析磁场分布的对称性； 2) 选择合适的闭合路径 L ，使得沿路径的矢量积分可化为标 量积分(具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解法)。
I
cd da

L
B dl B内 dl B dl B外 dl B dl
ab bc
B内ab 由安培环路定理 N N n 0 abI l l
B 0 nI

c d
管内是均匀场
r1 r2

r1
1 1 ( )dx 2 106 ln 3(Wb) x dx
二、磁场的高斯定理 通过任一闭合曲面的总磁通量必为零
S
B dS 0
S
磁场的高斯定理 静电场： 有源场 磁场：无源场
微分形式
B 0
E 0
说明： 1、磁场是无源场 ，磁感应线是闭合曲线，自然界不存在像 电荷那样的“磁荷”； 2、从闭合曲面穿进去多少磁感应线一定要从另一处穿出。
质的场称为涡旋场。
静电场 ---- 有源 无旋; 稳恒磁场----无源 有旋。

L
B d r 0 I Iii
i i
I1 I3
L1
正向穿过以L为边界的任意曲面的电 流的代数和。

L1
B d l 0 ( I 2 I 3 )
B d l 0 ( I1 I 2 )
L2

d A I1 x r1 dx l I 2 r2 r3
o
x
0 I 20 I B 2 2 d 2 d
方向向外
（2）通过所示微元面积的磁通量为： 0 I 0 I d Bds ( )ldx 2 x 2 ( d x ) 总的磁通量为：
r1 r2

r1
Il d 0 2
m B ds
S
磁通量 单位：韦伯(Wb) (1Wb 1T m2 )
例1 两平行长直导线相距d = 40cm，每根导线 载有电流 I1= I2= 20A ，电流流向如图示。 求 : （ 1 ）两导线所在平面内与两导线等距的 一点A处的磁感应强度。（2）通过图中斜线 所示面积的磁通量。(r1= r3= 10cm, l = 25cm) 解:(1) 两导线在中心点产生的B方向相同
例2 求密绕长直螺线管内部的磁感强度(总匝数N，总长L，通以稳 恒电流I） 分析：1、螺线管内外的磁感应强度的方向；
B

l

2、每一条磁感应线上的B处处相等； B
B
B
I
dS1
dS2
得： B1dS1
B dS 0
S
B2dS2 0
b
B内 a
例3 求：无限长直线电流的磁场 解：对称性分析——磁感应线是以电流为圆心 与电 流垂直平面上的同心圆。
I
选环路 r 确定环路方向 B
L

L
d l // B
B d l 0 I
B
B 2 r
B1 B2
• 管外的磁场
l
由磁场的安培环路定理可 得管外的磁场：
B B
I

L
B dl 0I 0
a
B1 b
B1 ab B2 cd 0 B1 B2
d
B2
c
管外的磁场是匀强磁场,且可近似看做是零。
• 管内的磁场 取过场点的的矩形环路abcda
l B
I
• 无头无尾闭合曲线 • 与电流相套连
• 与电流成右手螺旋关系
I S
I
I B r
N
B
I S N
3、磁通量
S
n
B
n
S

B
m BS
S θ
m BS cos BS
B
dS n
d m B dS
m B dS
S