第2章 复习与思考题01ii i ii kx x x x 的基函数称为主要性质有 0,()1,k i kx i k()1n l x、什么是牛顿基函数？它与单项式基答：牛顿差值基函数为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n 牛顿差值基函数中带有常数项01,,...n x x x ，这有单项式基不同。

阶均差？它有何重要性质 01n 2n 01n 2n -11[,,...,,][,,...,,]n n f x x x f x x x x x xk j 0j 0j-1j j+1j -k x x x x x x x （）...()()...()和k 阶均差的性质0101k-10[,,...,][,,...,]k kf x x x f x x x x x （分子前项多xk ）[a,b]上存在阶导数，且节点2n ,[a,b]x ，则1()!f n0()nn n ik k kk k i i ki kx x y l x y x x ，(j 1,2,....,n)个点的牛顿插值多项式01[,,...,]k f x x x ,(k 1,2,....,n)两者的主要差异是未知数不一致。

拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。

牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。

与一般多项式基本相同。

y ，其中系数矩阵用下列基底作多项式插值时，120001211112222121...1...1 (1)...n n n n n nnx x x x x x x x x x x x ，无非零元素。

）拉格朗日基底为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，已知数为未知数为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，则系数矩阵为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n ，已，未知数为012{,,,...,}n a a a a ，则系数矩阵为102020211010100...010...01()()...0...............1()()...()n nnnnj j x x x x x x x x x x x x x x x x ，为下三角矩阵，矩阵的上三角元0。

、用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低至高给出排序11()()()()(n 1)!n n n f f x L x x ，进行误差估计时，对1()进行适当缩放即可。

牛顿插值多项式余项011()()[,,...,]()n n n f x P x f x x x x ，可以直接求出。

、埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值埃尔米特插值最显著的特征是：即要求节点上的函数值相等，同时也要求节点上的到数20000000()()()()()()...()2!!n f x f x f x f x x x x x x x n就是牛顿插值公式具有n 重根0()xx 时的特殊形式，即0()x x 的极限形式。

阶导数值相等的埃尔米特插值公式。

、为什么高次多项式插值不能令人满意？分段地刺插值与单个高次多项式插值相比有何优()()()ni i i l x P x P x 。

为连续函数，节点x i (i = 0, 1,…, n )为等距节点，构造拉格朗日插值多项式 (x ).）同上题，若构造三次样条插值函数S n (x )，则）高次拉格朗日插值是很常用的。

0，此时错。

典型的例子是龙格现象1,1,2时，0,3,4，求）用单项式基底）用拉格朗日插值基底）用牛顿插值基底 10a x a y ，则范德蒙系数矩阵12012111222111111111124x x x x x x 行列式化简有11101110111302031244134111011100134013402030065解得017/31.55/6a a a21.57/3x x y）使用拉格朗日插值计算02011201201021012202122()()()()()()()()()()()()(1)(2)(1)(2)(1)(1)0(3)4(11)(1)(2)(3)(1)(3)(1)(2)4(1)(1)023324(2x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 22221)33968(1)66537623571.563x x x x x x x y 3）使用牛顿插值计算2001001201()()[,]()[,,]()()P x f x f x x x x f x x x x x x x均差表()k f x一阶均差二阶均差2250 1.5(1)(1)(1)651)(1)6571.563x x x x x x x从三种插值方法得出的插值函数一致，得证。

、给出()ln f x x 的数值表用线性插值及二次插值计算0.4-0.91629101010110()()()()(0.6)(0.5)(0.693147)(0.510826)0.10.11.82321-1.604752x x x x y y x x x x x x x 从而(0.54) 1.823210.54-1.604752=-0.620278n L 本题二次插值选用牛顿插值方法 选择接近0.54值的三个插值节点x0=0.4,x1=0.5和x2=0.6,则y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826 2(0.4)(0.4)(0.5)2.04115 4.044445 2.217090.916291 2.23144 2.047115x x x x x2(0.54)-0.61531984P3、给出cos x ,090x 的函数表，步长1(1/60)h ，若函数具有研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

11()()()()(n 1)!n n n f f x L x x线性插值时n=1， 总误差界1()cos 1|()||()||()|(n 1)!22f x x x由于步长取1(1/60)h ，换算成弧度有41(/10800)=2.908910h4()=0.510x因此，总误差界14()cos1|()||()||()|=0.2510(n 1)!22n f x x x此题解法错误，原因是使用的方法错误“函数具有5位有效数字”501102y 使用插值方法带来的误差。

10xx x h ，对应的501102y ，5111102y y ，01010110x x x x y y x x x x ，所以总误差为1111()()()()()()f x L x f x L x L x L x111010100110110010100110110|()()()()|()()()(()())|2cos()|()()||()||||()|||2f x L x L x L x x x x x x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x y y y y x x x x 所以01010011011055010101101()cos ()()2111()()1010222x x x x R x x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x x x x x01)()x x x 的最值求解如下：01()()()x x x x x1001()()()2()0f x x x x x x x x 时，即100()/22h x x x 201()()4h x x x x 取最大值。

利用基函数之和等于1的性质55010110550101011101021110()1022x x x x x x x x x xx x x x x x④22711()=/1080060180/466560000=0.21154104h25755111100.1057710100.5010577102422h总误差限5()0.501057710R x本题的关键在于，三角函数的变量是弧度，因此角度必须使用弧度来计算。

（我认为不对），将角度未换算成弧度，计算结果为5551111110103.47102422144002h(0,1,,)j x jn 为互异节点，求证： 0()(0,1,,)n k kj j j x l x x kn ；()()0(1,2,,)n k jj j x x l x k n ；证： ()k x x 时，利用拉格朗日插值余项公式有111()0()()()()0(n 1)!(n 1)!n n n f f x L x x x()()n x L x()(0,1,,)nk kj j j x l x x k n） 证：利用式1，有()()=-)()-,(=0,2....)-(=01,2....n k jj j nki i k i i k j j j i i i i k ik i i k k x x l x C x x l x C x x i k C x i （1）（1），，（1），，，现在的问题是如何证明-（1当k 为基数时，1(1)(1)0,(0,1,....)2i i k i kik k k C C i 所以()()0nk jj j x x l x为偶数时，（书上第28页有例题，但是该如何证明？？）即得证：0()()nk jj j x x l x2： ()ky x ，()()n k jj j x x l x 0()()()()0n k kkj j y x l x y x x x 。

这种证法难以理解，感觉理论依据不明细。

5、设2(),f x C a b 且()()0f a f b ，求证21max ()()max ()8a x ba xb f x b a f x 。

111111()()()()()()(1)!()()(1)!n n f l a f a l b f b x n f x n()1|(-)(-)||()||(-)(22f x a x b f x a x 其中， )=(-)(-)()=2()y y a y b y y a b()=0y 时，a+b =2y ，|2)4a所以有22()1max|()||(-)(-)||()||(-)(-)|22()()=|()|max|()|88x b a x b f f x x a x b f x a x b b a b a f f x 得证。

、在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求4012()()|()()()||(1)(2)||||3!66f f e x x x x x x t t t h 2(1)(2)()(1)(2)(2)(1)362t t t t t t t t t t t t当()=0f t 时，3=13t ，|()|f t 取最大值2要使其不超过10，则有4436233|||||=106927e h e h4666931015.5880.018315100.28550410e2230.28550410=0.65810、证明n 阶均差有下列性质： ）若(x)=()F cf x ，则[],,,[10n cf x x x F =00000001()()()()()()[,,...]n j nj jk k k jn j nj jk k k jn j nj jk k k jn F x x x cf x x x f x cx x cf x x x2）0100000000101()[,,...]()()()()()()()()[,,...][,,...]n j n nj jk k k jn j j nj jk k k jn nj j nnj j jk jk k k k jk jn n F x F x x x x x f x g x x x f x g x x x x x f x x x g x x x8、13)(47+++=x x x x f ，求2,,2,2[1f 8,,2]。