第四章 三角函数教材分析 2006.3.3三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。

本章所学的知识内容，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继知识内容和高等数学的基础。

本章教学时间约用36课时，具体分配如下(仅供参考)：4.1 角的概念的推广 约2课时4.2 弧度制 约2课时4.3 任意角的三角函数 约2课时4.4 同角三角函数的基本关系式 约2课时4.5 正弦、余弦的诱导公式 约3课时4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切 约7课时4.7 二倍角的正弦、余弦、正切 约3课时4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质 约4课时4.9 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 约3课时4.10 正切函数的图象和性质 约2课时4.11 已知三角函数值求角 约2课时小结与复习 约4课时一、内容与要求(一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等。

同角三角函数的基本关系式诱导公式 三角函数式的恒等变形(求值、化简、证明）任意角的概念角的度量方法角度制与弧度制任意角的三角函数三角函数的图象和性质 已知三角函数值求角两角和与差的三角函数公式 二倍角的三角函数公式函数y=Asin(ωx+ϕ)的图象(二)章头引言安排了一个实际问题——求半圆内接矩形的最大面积。

这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值。

(三)第一单元是“任意角的三角函数”。

首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的基本关系式及正弦、余弦的诱导公式。

而且教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用。

1.任意角，包括任意大小的正角、负角和零角，应该注意掌握终边相同的角、象限角、轴上的角（限界角）等概念的联系与区别，要求能准确地表示，还要注意与这些角有关的角的表示，如：已知角α是第几象限的角，求2α、3α角所在的象限和2α角所在的位置；运用“整数集=奇数集∪偶数集”写出终边在x 轴或y 轴上的角α的集合。

注意：“角α的终边在x 轴的非负半轴上”的叙述方式，与过去的说法“角α的终边在x 轴的正2.由于任意角α的三角函数值仅与角α的终边所在的位置有关，与其终边上的点的位置选取无关；而且三角函数的定义是同角三角函数关系式，乃至整章知识的基础，所以必须牢固掌握任意角的三角函数的定义。

要结合单位圆内的三角函数线，掌握数形结合的数学思想方法解决三角函数问题。

3.三角函数线：单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示。

用三角函数线的数值来代替三角函数值要比由定义所规定的比值来求得三角函数值要直观得多，因此三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具，特别是在求取值范围、比较大小、解三角不等式等问题时，用三角函数线来求解十分简捷。

另外，三角函数线又是绘制正弦曲线、正切曲线的基础。

4.诱导公式在三角函数求值、化简三角函数式、证明三角恒等式中起着重要的桥梁作用，一定要熟记在心。

可以用“奇变偶不变，符号看象限”或“纵变横不变，符号看象限”来帮助记忆。

5.同角三角函数基本关系式，可用“正六边形记忆法”来记忆。

当已知一个角的一个三角函数值时，可以按照“正六边形”图示来求出这个角的其他三角函数值，值得提示的是：应该首选倒数关系，尽量少用平方关系，因为用平方关系时，需要讨论三角函数值的符号。

(四)第二单元是“两角和与差的三角函数”。

先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明)，用距离公式推出和角的余弦公式，然后顺次推出其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解。

1.两角和与差的三角函数公式是本节所有公式（二倍角公式、半角公式以及万能公式、积化和差公式与和差化积公式）的基础，在教学过程中，要将公式之间的内在联系讲透。

既要重视公式的正向运用，也要重视公式的逆用与变形运用训练，提高公式的灵活应用水平。

2.三角公式的主要运用是三角函数式的化简、求值及证明三角恒等式。

在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切割化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等。

i ）注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：①常值代换，特别是“1”的代换，如：θθctg tg =1，θθ22cos sin 1+=，θθ22csc 1ctg -=，θθ22sec 1tg -=等等；②项的分拆与角的配凑；③降次与升次；④万能代换。

ii ）对于形如θθcos sin b a +的式子，要引入辅助角ϕ并化成)sin(22ϕθ++b a 的形式，这里辅助角ϕ所在的象限由b a ,的符号决定，ϕ角的值由ab tg =ϕ确定。

对这种思想，务必强化训练，加深认识。

αααcotiii ）三角函数的化简与求值的常用方法和技巧：①三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等。

其他思想还有：异次化同次、高次化低次、切割化弦、特殊角三角函数与特殊值互化等。

②三角函数的求值问题，主要有两种类型：一类是给角求值问题；另一类是给值求角问题。

它们都是通过恰当的变换，与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系。

选用公式时应注意方向性、灵活性，以创造出消项或约项的机会，简化问题。

iv ）求三角函数值的常用方法有：⑴配方法；⑵化为一个角的三角函数；⑶数形结合法；⑷换元法；⑸基本不等式法（学完第六章以后）。

3.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值。

在应用诱导公式进行三角函数式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取。

i ）关于三角函数式的简单证明：三角恒等式的证明分为无附加条件和有附加条件两种，证明方法灵活多样。

一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定。

①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法。

②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系。

常用的方法是代入法和消元法。

三角恒等式证明中的重点是掌握等价转化的思想和变量代换的方法。

证明的关键是：发现差异——观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系——选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式。

ii ）关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证βα=，先证明βα,的同名三角函数值相等，即)()(βαf f =，再证明βα,在三角函数)(x f y =的同一单调区间内，进而由函数的单调性得出βα=。

4.根据正弦函数、余弦函数的有界性，在求三角函数的最大值和最小值时，要注意挖掘题设中的隐含条件，对于含有参数的问题，还要注意参数的作用，该分类讨论的就要分类讨论。

5.求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等。

其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值。

(五)第三单元是“三角函数的图象和性质”。

先利用正弦线画出函数x y sin = ，x ∈[0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2π个单位长度，得到余弦曲线。

接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质、正弦函数的简图的画法，以及y=Asin(ωx+ϕ)的图象是如何由y=sinx 的图象经过图象变换得到的，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质。

最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx 、arccosx 、arctanx 等记号，以供遇到求角问题时用来表示答案。

1.三角函数的图象是三角函数及其性质的直观反映，是解决三角函数及其有关问题的重要工具。

三角函数的性质是高考考查的重点，在讲课时，要使学生牢记三角函数的图象，并有意识地训练从数形结合的角度去分析、解决问题（如：三角函数的图象的识别、特征（对称轴、对称中心）分析、变换（图象变换）、根据图象写出三角函数的解析式），还要注意与其它知识的综合运用，特别是与平面向量相结合，加强三角函数作为工具的应用意识。

要将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调区间等。

对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性。

2. 周期性是三角函数的独特性质，求三角函数的最小正周期是每年高考的必考内容，而且基本上都是围绕考查y=Asin(ωx+ϕ)（或经过变形化为y=Asin(ωx+ϕ)）的最小正周期T=2πω来设计。

3. 函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间内的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小。

主要体现在：解简单的三角不等式、比较大小、求最大值或最小值、判断单调区间，或者与三角函数的图象、三角函数线（用与单位圆有关的线段表示三角函数）、三角函数的概念、已知三角函数值求角等知识综合考查。

(六)本章的教学要求：1.使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。

2.使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数间的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。

3.使学生掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。

4.使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆），重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上。

对于θθ33cos sin+，θθ44cos sin +，θθ66cos sin +等表达式，要会结合乘法公式熟练地进行变形，并利用1cos sin 22=+θθ等三角公式进行化简。

5.使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义。