4.1 对于如下系统，求其传递函数。

并判别：系统是否由其传递函数完全表征？系统是否渐进稳定？是否输入-输出稳定？（1）[]0100001061161310x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦= 解：由3261160sI A s s s -=+++=得极点为：1231,2,3s s s =-=-=-所以系统渐进稳定。

所以系统为输入-输出稳定，但不能由G （s ）完全表征。

（2）[]010000102500550510x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=-解：由3252500sI A s s -=+-=得1235,55,55s s i s i ==-+=--所以不是渐进稳定。

G(s)=C(sI-A)1-B=C 1502501001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---s s sB=)5)(55)(55()5(50--+++-s j s j s s .=)55)(55(50j s j s -+++所以系统是输入-输出稳定，但不能由G （s ）完全表征。

（3）[]110001010002110x x u y x-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=- 解：由3220sI A s s s -=++=得1230,1,1s s s ==-=-所以系统不是渐进稳定。

所以系统是输入-输出稳定，但不能由G （s ）完全表征。

（4）（a ）解：25()27s G s s s -=+-，1,21s =-±，有极点在右半平面 所以既不是渐进稳定，又不是输入-输出稳定。

系统可由其传递函数完全表征。

.（b ）解：)54)(1()1)(3()(2++-++=s s s s s S G .，有极点在右半平面 所以既不是渐进稳定，又不是输入-输出稳定。

系统可由其传递函数完全表征。

（c ）解：1()(1)(3)s G s s s -=++，有对消的零极点s=1在右半平面，所以系统不能由传递函数完全表征，不是渐进稳定，是输入-输出稳定4.2 已知系统的特征方程如下，分别用劳斯和霍尔维茨判据判别稳定性。

(1)010092023=+++s s s100410020910123ss s s , D=10020091010020 D 1>0, D 2=80>0, D 3=8000>0故该系统将近稳定。

（2）322092000s s s +++=解：3211920020010200s s s s -123202000190020200200,200,40000D D D D =∴=>=-<=-<所以，系统不稳定(3)025103234=++++s s s s147/5317.411025301234s s s s s -，D=2531100025300110D 1=10>0; D 2=47>0, D 3=-153<0, D 4=-306<0 ; 所以系统不稳定；（4）6543244478100s s s s s s +-+--+=解：6543210147104480551020102.5109010s s s s s s s ---------辅助多项式423()5510()2010p s s s p s s s=--+=-- 所以不稳定（5）025.666)256)(4)(2(2=+++++s s s s 解： 025.8661986912234=++++s s s s25.866025.8665.521981225.86669101234s s s ss ε←，D=25.8666910198120025.8666910019812D 1=12>0 , D 2=630>0 , D 3=0 , D 4=0; 所以该系统临界稳定；（6）4328181650s s s s ++++=解：4321011858161652725s s s s s 12348160011850081600118580,1280,4480,22400D D D D D ==>=>=>=> 所以系统稳定 4.3 确定使系统稳定的12K K 和（a ）解：132111(1)()(21)K s G s s K s K s K +=++++ 由劳斯判据得1K >0（b ）解：32210(1)()2(101)1010s G s s K s s +=++++ 由劳斯判据得2K >0.14.4 某单位反馈系统的开环传递函数为02()(717)KG s s s s =++ （1）确定使系统稳定的K 的临界值。

（2）若要求闭环节点的实部均小于-2，求K 的取值范围 解：（1）闭环传递函数为：32()717KG s s s s K=+++ 由劳斯判据：321117711907s s K K ss K-得0119K<< 故临界值时 K=119（2）令2s p =-，得32140p p p K +++-=由劳斯判据：32101111415014p p K p K p K ---得1415K <<4.5 已知系统的开环传递函数为0(1)()(1)(21)K s G s s s s τ+=++，试用劳斯判据确定使系统稳定的参数,K τ的范围。

解：32(1)()2(2)(1)K s G s s s K s Kττ+=+++++由劳斯判据：321212(22)2s K s K K K ss Kτττττ++-+++得002K τ>⎧⎨<<⎩ 或 2202K τττ>⎧⎪⎨+<<⎪-⎩4.6 已知系统做等幅震荡，确定系统参数,K α的值 解：其特征方程为：32(2)10s s K s K α+++++=由劳斯判据：321121(2)(1)1s K s K K K ss K ααα+++-++若(2)(1)KK α+-+=0则辅助多项式2()1()2p s s K p s sαα=++=判据为：32112121s K s K s s K αα+++所以系统参数应满足01(2)1K K K αα≥⎧⎪≥-⎨⎪+=+⎩4.9 由零极点确定根轨迹草图。

4.10（1） （2）利用劳斯判据，可求的：01.08.07.1123=++++K s s s 因为该系统极点都在左半平面，所以该系统稳定1111231.07.126.11.07.18.01K s K s K s s +-+ 所以20K >求得：0<K 1<1.26（3） （4）340>K 3>0402K <<4.11证明：∴ 所以1s 是根轨迹上的一点。

4.12（1）1,1,2N P Z ===,系统不稳定 （2）1,1,0N P Z =-==，系统稳定 （3）0,2,2N P Z ===，系统不稳定 （4）2,0,2N P Z ===，系统不稳定 （5）2,2,0N P Z =-==，系统稳定 （6）0,0,0N P Z ===，系统稳定 （7）1,1,0N P Z =-==，系统稳定 （8）1,1,2N P Z ===，系统不稳定4.13 绘制开环系统奈奎斯特曲线，并判断系统稳定性和K 的关系（1）0()(0.11)(0.51)KG s s s s =++012K <<时系统稳定（2）0()(1)(2)(3)KG s s s s =+++060K <<时系统稳定 （3）0(21)()(1)K s G s s s +=-0.5K >时系统稳定4.14 （1）由图得：系统稳定（2）相角裕度为33度，幅值裕度为9.2dB 。

（3）临界稳定时，K=28670（4）相角裕度为40度时，K=7366。

4.15 开环传递函数为021()s G s sτ+=，计算相角裕度为45度时，τ的值解：0()180135c G j ωγ∠=-+=-︒即arctan()180135c τω-︒=-︒，得c τω=1 又由0()1c G j ω=得0.252c ω=所以0.2520.84τ-==4.16 420)1()(5)(+=-jw e jw jw G jwτ 当|G(jw)|=1 时 求得c w 解得： τ = 43.1所以当τ < 43.1时，系统稳定 4．17（1）幅值裕度无穷大，相角裕度12度。

（3）幅值裕度18dB ，相角裕度180度。

（5）不稳定 （7）不稳定4.18 解： 系统的传递函数为： 10)110(10)()(1)()()(2+-+=+=s K s S H s G s G s R s C h 由劳斯判据可进行解决，10110101012s K s s h - 当10K h -1>0时，系统稳定，当10K h -1=0时，系统临界稳定，此时传递函数的极点2,1s =±10j ，K h =0.1。