化学元素对变形钢棒性能的影响摘要本文针对化学元素对钢筋性能影响的问题进行分析，建立了各元素和钢筋性能之间关系的数学模型以及各影响元素之间的关联度模型，并探究了在保证钢筋性能的情况下，增加Cr 含量，降低昂贵微量元素含量的可行型方案。

针对问题一，由于钢筋的拉伸强度，屈服强度和断裂后的伸长率受多种微量元素的共同影响，结合已知的实验数据，采用灰度系统理论中的优势分析的方法，应用matlab 软件算出影响元素与性能指标的关联矩阵，通过关联度大小，判断影响性能的主次要因素。

同理也求出了各影响之间的关联度。

针对问题二，探究钢筋性能指标和各化学元素之间的影响规律，探究各化学元素和钢性能指标这两组多重相关变量间的相互依赖关系，本文运用偏最小二乘回归理论，建立了各化学元素与各性能指标之间的回归方程模型。

针对问题三，在问题二建立的模型的基础上，以保证钢性能的允许范围，适当增加钢中Cr 的含量为约束条件，以降低其他微量元素含量为目标函数建立多目标优化模型，通过matlab 编程，最终优化出，，，，。

关键词：灰度理论关联度优势分析偏最小二乘回归多目标规划问题重述主要用于钢筋混凝土构件的骨架的热轧肋条的性能如机械强度，弯曲和变形性能等受钢中化学元素成分的影响。

多数变形钢棒采用微合金化方法，即通过适当调整钢中微量元素的含量来保证结构性能和控制生产成本。

某公司使用富含Cr 的矿石炼钢过程中，为了控制成本和保证钢结构性能的情况下，是否可以通过增加Cr 含量，减少合金材料量?要求建立数学模型讨论下列问题：1、通过已经给定的实验数据，运用数据模型，分析影响变形钢筋性能如屈服强度，断裂后的拉伸强度和断裂伸长率的主要因素、次要因素。

并通过关联度分析，探究影响元素之间的相关性。

2、本问题考虑到多个化学元素对多个钢筋性能指标的交互影响，建立钢筋各性能指标与C，Mn ，Cr，V ，N 等化学元素之间的影响规律的模型，并进行数学描述。

3 、当公司使用富含Cr 的矿石时，液态铁中的Cr 含量将显着增加。

因此当Cr 含量增加时，为了控制成本和保证性能，我们可以减少那些合金的材料量？并研究在变形钢筋性能允许范围内，通过增加Cr 含量，降低Mn ，V 等元素的含量，并提出Mn ，V 等元素含量的改进范围，设计组成优化方案。

二、问题分析针对问题一，由于钢筋的拉伸强度，屈服强度和断裂后的伸长率受多种微量元素的共同影响，单独考虑某一种元素对钢筋性能的影响，建模结果与实际情况将有很大偏差，因此我们需要建立多对多的关联模型来描述钢筋各性能指标与各影响元素的交互关系，结合已知的实验数据，采用灰度系统理论中的优势分析的方法，应用matlab 软件算出影响元素与性能指标的关联矩阵，通过关联度大小，判断影响性能的主次要因素。

同理可以建立各影响之间的关联针对问题二，探究钢筋性能指标和各化学元素之间的影响规律，需建立回归方程模型。

简单的一元线性回归不能解决两组多重相关变量间的关系，为探究各化学元素和钢性能指标这两组多重相关变量间的相互依赖关系，本文运用偏最小二乘回归理论，建立了各化学元素与各性能指标之间的回归方程模型。

针对问题三，在问题二建立的模型的基础上，为了充分利用富Cr 矿石，通过适当增加钢中Cr 的含量、以降低其他昂贵微量元素含量来降低生产成本。

我们以保证钢性能的允许范围，适当增加钢中Cr 的含量为约束条件，以降低其他微量元素含量为目标函数建立多目标优化模型，通过matlab 编程，最终得出优化的方案。

三、模型假设1、假设已知数据样本是在除化学元素含量不同外，其他工况条件相同；2、只考虑数据中的化学元素对钢筋的三种性能指标的影响；3、对钢筋的性能只考虑这三种指标；4、不考虑几种化学元素综合作用对性能的关联度；5、四、符号说明五、模型建立与求解5.1建立关联度模型5.1.1建立钢筋性能指标与各化学元素之间的关联度模型分析影响性能的主、次要因素，我们需要建立多对多的关联模型来描述钢筋各性能指标与各影响元素的交互关系。

当钢筋性能指标不止一个，被影响的因素也不止一个时，则需进行灰度理论中的优势分析方法。

1、定义钢筋的m 个性能指标称为母因素，记为：y1，y2 y m 1,y m其中 m 3 ，y1 表示yield strength,y2 表示tensile strength ,y3 表示percentage elongation after fracture 。

2、定义有l 个影响元素成为子因素，记为：x1,x2 x l 1,x l其中 l=11，x1,x2 x l 1,x l 依次表示。

显然，每一个母因素数列对l 个子因素数列有l 个关联度，3、定义r ij 表示子因素数列x j 对母因素数列y i 的关联度，可构造关联（度）矩阵：R （r ij ）ml根据矩阵R 的各个元素的大小，可分析判断出哪些因素起主要影响，哪些因素起次要影响。

起主要影响的因素称之为优势因素。

再进一步，当某一列元素大于其它列元素时，称此列所对应的子因素为优势子因素；若某一行元素均大于其它行元素时，称此行所对应的母元素为优势母元素。

例如，矩阵R 的第 3 列元素大于其它各列元素:r i 3 r ij i 1,2,3 m; j 3将已知的数据中样本 1 的数据载入Matlab，通过Matlab 程序（见附件1）算出11种化学元素对钢筋三种性能指标的关联矩阵：0.1107 0.0175 -0.0272 - 0.0131 0.0698R3 11 0.0751 -0.0023 -0.0052 - 0.0141 0.12960.0329 - 0.0711 -0.0762 0.0849 -0.1002- 0.1105 0.0586 - 0.0659-0.1006 0.0023 0.05710.0739 -0.0978 - 0.0631-0.0952 0.0137 0.0622- 0.0921 0.0959 0.0042 0.0789 0.0332 0.1037 为了更明了的看出各因素与钢筋性能指标的关联性，我们做出各因素与钢筋性能指标的关联性表格如表.1表 1.各因素与钢筋性能指标的关联性表根据各因素与钢筋性能指标的关联性数据，有matlab 做出相关性示意图如图1：图 1.各因素与钢筋性能指标的关联性根据图表不难得出：（1）从矩阵R3 11第 1 行可以得出r11 r1 6 r1 9 r15 r1 8 ，即影响钢筋拉伸强度的主要因素是Si的含量，其次是C的含量，Cr、Cu、V 的含量次之。

从矩阵R311第2 行可以得出r 2 10 r 2 5 r2 9 r2 1 r2 6 ，即影响钢筋屈服强度的主要因素是Si 的含量，其次是Cr 的含量，Cu、C、V 的含量次之。

从矩阵R311第 3 行可以得出r3 9 r3 5 r3 7 r3 6 r3 4 ，即影响钢筋断裂后的伸长率的主要因素是Al 的含量，其次是Si的含量，Cr、V、P的含量次之,可见不同的元素对钢筋各性能的影响作用不同，因此针对性能需求的钢，添加的元素的含量也不相同。

（2）由图 1 可以发现S、P、V、Ni、Cu 的含量与钢筋的拉伸强度成负相关；Mn 、S、P、Cr、Ni 、Cu、Mo、Mn 的含量与钢筋的屈服强度成负相关;Si 、Mn、S、V 的含量与断裂后的伸长率成负相关。

（3）由图 1 也不难得出，钢筋的拉伸强度和屈服强度具有很大的相关性。

5.1.2建立各化学元素之间的关联度模型根据 5.1.1 建立的钢筋性能指标与各化学元素之间的关联度模型原理，将各化学元素含量定义为母因素，建立各化学元素之间的关联度模型。

这里我们求对影响各性能指标的五种元素进行相关性分析，结合 5.1.1 中算出的影响各性能指标的主次要元素，应用matlab 程序算出影响各性能指标的五种元素的相关性, 并分析各元素之间的相关性。

表 2 . 各个元素对Tensile strength 的影响由表2可以得出，在影响拉伸强度的元素中Cr 与Si、Cu与Si、V和Cr、V 和Cu成负相关，Cr 和Cu之间的相关性最大，Cu和C的相关性最小。

表 3. 各个元素对yield strength 的影响由表3可以得出，在影响屈服强度的元素中Cr 与Si 、Cu与Si、V和Cu、Cr 和V 成负相关，Cr 和Cu之间的相关性最大，Cu和C的相关性最小。

表 4. 各个元素对Percentage elongation after fractureh 的影响由表可以得出，在影响钢筋断裂后的伸长率的元素中Al 和V、Al 和Si 、Si 和Cr 、Si 和P 、V 和Cr 成负相关， Cr 和Si 之间的相关性最大， V 和Al 的相关性最小。

5.2 问题二建立影响规律模型 运用偏最小二乘回归理论，建立了各化学元素与各性能指标之间的回归方程模 型。

5.2.1 模型准备y 1，y 2 y m1,y m 与l 个自变量（影响因素）x 1,x 2 x l 1,x l 建模问题。

偏最小二乘回归的基本做法是首先在自变量集中提出第一 成分t 1（t 1是x 1,x 2 x l 1,x l 的线性组合），且尽可能多地提取原自变量集中的变异 信息）；同时在因变量集也中提取第一成分 1，并要求 t 1和 1相关程度达到最大 然后建立因变量 y 1，y 2 y m 1,y m 与 t 1的回归，如果回归方程以达到满意的精度， 则算法终止。

否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。

若最终对自 变量集提取 r 个成分 t 1,t 2, t r ，变最小二乘回归将通过建立 y 1，y 2 y m 1,y m 和 t 1,t 2, t r 的回归式，然后再表示为 y 1，y 2 y m 1, y m 与原自变量的回归方程式。

为方便起见，不妨假定 m 个变量（性能指标） y 1，y 2 y m 1, y m 与 l 个自变量 影响因素） x 1,x 2 x l 1,x l 均为标准化变量。

因变量组合自变量组的 n 次标准化观 测数据矩阵分别为：2）求矩阵 E 1T F 0F 0T E 1最达特征值所对应的的特征向量 w 2 ，求得成分 t 2 w 2T X , 计算成分得分向量 t 2 E 1w 2 ，和残差矩阵 E 2 3）（ r ）至第 r 步，求矩阵 E r 1F 0F 0 E r 1 最达特征值所对应的的特征向量 w r ， 考虑 m 个变量（性能指标） y 11 y1m x 11 x 1lF 0 ， E 0ynm x n1 y n1 5.2.2 偏最小二乘法建模过程（1）求矩阵 E 0T F 0 F 0T E 0最达特征值所对应的的特征向量 xnl1 1T w 1 ，求得成分 t 1 w 1T X, 2计算成分得分向量 t 1 E 0w 1 ，和残差矩阵 E 1 E 0 t 1 1T ，其中 1 E 0T t 1/TTE 1 t 2 2T ，其中 2 E 1T t 2/ t 2求得成分t r w r T X ,计算成分得分向量 t r E r 1w r 如果根据交叉有效性，确定共抽取r 个成分t1,t2, t r 可以得到一个满意的模型，则求F0在t1,t2, t r 上的普通最小二乘回归方程为：F0 t1 1T t r r T F r把t k w k1x1 w kl x l (k 1,2, r)，代入Y t1 1 t r r ，即得m个因变量的偏二乘回归方程式：y j a j1x1 a jl x l,(j 1,2, l)h 1T这里的w h 满足t h E0w h ，w h (I w j T j )w h 。