经济应用数学习题第一章 极限和连续 填空题1. sin limx xx→∞=0 ；2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高 阶的无穷小量。

4. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a =25.2lim(1)x x x →∞-=2-e选择题1.02lim5arcsin x xx →= （ C ）（A ） 0 （B ）不存在 （C ）25（D ）12.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ）（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件计算题1.求极限 20cos 1lim2x x x →-解：20cos 1lim 2x x x →-＝414sin lim 0-=-→x x x 2. x x x 10)41(lim -→＝41)41(40)41(lim ---→=-e x x x 3.201lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x导数和微分 填空题1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2'')]([)()()()(x v x v x u x v x u - 2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则hh x f h x f h )3()2(lim000--+→用A 的代数式表示为A 5 ；32)(x e x f =，则xf x f x )1()21(lim--→= 4e - 。

2(12)(1)'()2,lim2'(1)4x x f x f f x xe f ex →--==-=-解选择题1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 000()()limx x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000()()lim x x f x f x x x →--不存在（C ） 00()()limx x f x f x x →+-存在 （D ） 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在0x 处可导，且0001lim(2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于（ D ）（A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ）（A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4.设 (0)0f = ，且 0()limx f x x → 存在，则 0()lim x f x x→ 等于（ B ）（A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1(0)2f '5.函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ）（A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f（C ） 2)()]('[x f e x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f +6函数 x x x f )1()(-=的导数为（ D ）（A ）x x x )1(- （B ） 1)1(--x x （C ）x x x ln （D ） )]1ln(1[)1(-+--x x xx x7函数 xx x f =)( 在 0=x 处（ D ）（A ）连续但不可导 （B ） 连续且可导（C ）极限存在但不连续 （D ） 不连续也不可导计算与应用题1. 设 ln()y xy = 确定 y 是 x 的函数，求 dxdy 解： )(1)(1)][ln(''''xy y xyxy xy xy y +=== )1('''-=+=⋅y x yy xy y y xy2. 2设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求 dxdy 解：''ln (ln )y y y dy y e y y x xdx x e x ⋅=⋅+=- 3. 3求 13cos x y e x -= 的微分解：'131313(3cos sin )(3cos sin )x x x dy y dx e x e x dx e x x dx ---==--=-+4. 4求 2xe y x= 的微分；解：222'222(21)x x x e x e e x y x x --== 22(21)x e x dy dx x -= 5设sin 10()20ax x e x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续，求a 的值。

00sin 1lim ()limax x x x e f x x→→+-= 0lim(cos )axx x ae →=+…………………………2分1a =+………………………………………2分又()f x Q 在(,)-∞+∞上连续，即0lim ()(0)2x f x f a →==…………2分21a a ∴=+1a ∴=……………………………………………………1分6设11,01(),0sin ,0x x x x f x ax kx x x ⎧-⎛⎫⎪> ⎪⎪+⎝⎭⎪==⎨⎪⎪<⎪⎩（其中0)k ≠ (1) 求()f x 在点0x =的左、右极限；(2) 当a 和k 取何值时，()f x 在点0x =连续。

（1）0sin lim ()lim x x kxf x k x--→→== …………………2分 111210001(1)lim ()lim()lim 1(1)xxx x x xx x e f x e x ex +++--→→→--====++……2分 （2）因为()f x 在x =处连续，满足00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==…………2分 所以2k a e -== ……………………1分导数的应用 填空题1. 设需求函数 (83)Q p P =- ，P 为价格，则需求弹性值2P EQ EP==2-2. 函数 33y x x =- 的单调递减区间是 ），（－11 二．选择题1.函数 sin y x = 在区间 [0, π]上满足罗尔定理的 ξ = （ C ）（A ） 0 （B ）4π（C ） 2π （D ）π 2. 函数 ()y f x = 在点 0x x = 处取得极大值，则必有（ D ）（A ） 0()0f x '= （B ） 0()0f x ''< （C ） 0()0f x '= 且 0()0f x ''< （D ） 0()0f x '= 或不存在应用题1已知某商品的需求函数为x =125-5p ，成本函数为C (x )=100 + x + x 2,若生产的商品都能全部售出。

求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。

222101251()()()10010051.224100 '()2.424010 "() 2.40,10''23(5,10,23,x xL x R x C x px x x x x x x x L x x x L x x x px x p x xηη=-=-=---=⋅---=-+-=-+=⇒==-<∴=⨯-===解（）驻点唯一当时，利润最大。

（2）＝当时则＝)11.510=-2.某工厂生产某种产品 吨，所需要的成本 ()5200C x x =+ （万元）,将其投放市场后，所得到的总收入为 2()100.01R x x x =- （万元）。

问该产品生产多少吨时，所获得利润最大， 最大利润是多少？ 解：()()()L x R x C x =-=20.015200x x -+-，'()0.025L x x =-+令'()0L x = 得 250x ="()0.020L x =-< "(250)0L ∴<∴该产品生产250吨时所获利润最大，最大利润是 (250)425L =（万元）3.已知某产品的需求函数为105QP =-，成本函数为 202C Q =+ ，求产量为多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。

解：()()()L Q R Q C Q =-2()102025Q P Q C Q Q Q =⋅-=--- '2()85L Q Q =-+，令 '()0L Q = 得 20Q =又 "2()05L Q =-< ，所以符合最大利润原则。

4某商店以单价100元购进一批服装，假设该服装的需求函数为400Q p =-（p 为销售价格）。

（12分）(1) 求收入函数()R Q ，利润函数()L Q ；(2) 求边际收入函数及边际利润函数；(3) 销售价格定为多少时，才能获得最大利润，并求出最大利润。

解：(1) 400p Q =-，()(400)R Q Qp Q Q ==-，………………2分 ()100C Q Q =，2()()()(400)100300L Q R Q C Q Q Q Q Q Q =-=--=-…………2分 (2) 边际收入函数为'()4002R Q Q =- ………………………1分 边际利润函数为'()3002L Q Q =- ………………………1分 (3) 令'()30020L Q Q =-=，得150Q =件。

…………………1分因''(150)20L =-<，所以当150Q =时，函数取得极大值， ……1分因为是唯一的极值点，所以就是最大值点，………………………1分 即400400150250p Q =-=-=元时，可获得最大利润。

……………1分最大利润为2(150)30022500L Q Q =-=元。

…………………2分第五章不定积分填空题1. 设 sin x e x + 是 )(x f 的一个原函数，则 ()f x ' =xe x sin -；2.=⎰dx xx ln 1ln ln x C+3. 若2()f x dx xC =+⎰ ，则2(1)xf x dx -=⎰422x x c-+；选择题1. 设 )()(x G x F '='，则 （ B ）（A ） )()(x G x F = 为常数 （B ） )()(x G x F -为常数（C ） 0)()(=-x G x F （D ）dx x G dx ddx x F dx d )()(⎰⎰= 2. 已知函数 ()f x 的导数是 sin x ，则 ()f x 的所有原函数是（ B ） （A ）cos x （B ）cos x C -+ （C ）sin x （D ）sin x C + 3.若 22()x f x dx x e C =+⎰ ，则 ()f x = （ D ）（A ）22x xe （B ）222x x e （C ）2x xe （D ）22(1)x xe x + 三计算1.求不定积分 3x xe dx ⎰原式=333111()333x x x xd e xe e dx =-=⎰⎰33111(3)333x x xe e d x -⋅⎰=331139x x xe e C -+2. 2. 211x dx x -+⎰解：原式2222111(1)1121x dx dx d x x x x =-=++++⎰⎰⎰211dx x -+⎰arctan x C =+3. 求解：2ln(1)t x t ==-令则原式=2211122211(1)(1)tdt dt dt t t t t t ⋅⋅==---+⎰⎰⎰11()11dt t t =--+⎰ln 1ln 1t t C =--++1ln1t C C t -=+=++4. 求 ln x xdx ⎰解：原式22222111111ln ()ln ln 22224xd x x x x dx x x x C x ==-⋅=-+⎰⎰定积分填空题1.1321sin xxdx -⎰ = 02.30(sin )xt t dt '=⎰3sin x x3. dx x f dx d ba)(⎰ = 04设 )(x f 在 [,]a b 上连续，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()( =521(ln )edx x x +∞=⎰16若1cos ()t xx e tdt Φ=⋅⎰，则'()x Φ= cos x e x -⋅7若⎰-=13)(x x dt t f ，则=)7(f112。