研究目的：
物种混居,必然会出现以食物、空间等资源为核心的种间关系。从理论上讲, 任何物种对其他物种的影响只可能有三种形式,即有利、有害、或无利无害的中 间态。因此,全部的种间关系只是这三种作用形式的可能组合。最常见的关系为 种间竞争、捕食和寄生。当环境中同时存在着两个种群,且两个种群存在着竞争
时可建立方程进行讨论,得到两种不同种群之间竞争的结果。研究种群竞争的关 系有很多应用，现举例如下：
假如人口数真能保持每 34.6 年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式 增长（如图 1）
例如，到 2515 年，人口约达 2×1014 人，即使海洋全部变成陆地，每人也 只有 9.3 平方英尺的活动范围，而到 2665 年，人口约达 4×1015 人，只好一个 人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。
r
人口统计数据与 Malthus 模型计算数据对比：
年
1625
人口(亿) 5
表 2.2.1 世界人 口数量统计数据
1830 1930 1960 1974
10
20
30
40
1987 50
1999 60
年
1908
人口（亿） 3.0
表 2.2.2 中国人口数量统计数据
1933
1953 1964 1982
4.7
关键词：种群 竞争 数学模型 环境条件
1.2 英文摘要 Biological populations have different biomass at different growth
stages, and the changes of biomass over time are restricted by various complex factors. The competition between the biological populations is often reflected in the competition between the limited space resources and other living conditions, and the change of environmental conditions has an effect on the real growth rate of the biological population. In this paper, we give the mathematical model of the competition of biological populations, and then apply it in ecology, and then predict the competition outcome of the biological species. The relationship between the species is important for food and living space. Darwin wrote in the book "natural selection and the origin of the species": "because of the similarities in the habits and qualities especially in terms of structure, so if they are in a state of mutual competition, they are more intense than those of different biological species." In this paper, we give a mathematical model of population competition, and apply it to some aspects of ecology, and then predict the results of biological competition.
2.2 历史回顾
⑴马尔萨斯（Malthus）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率 r 基本上
是一常数，（r=b-d, b 为出生率，d 为死亡率），既：
其解为
1 ������
������N ������������
=
������或dN
dt
=
rN…………………………（2.2.1）
图 2.2.1 马尔萨斯模型人口预测呈几何级数增长
Malthus 模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物 群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能 发生生存竞争等现象，后续将展开讨论。所以 Malthus 模型假设的人口净增长率 不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。
XXXXXX
常微分方程课程论文
题 目： 种群竞争模型研究
专 业：
信息与计算科学
班 级：
XXXXX
姓 名：
XXXXXXX
年月日
种群竞争模型研究
1. 摘要 1.1 中文摘要
生物种群在不同的生长阶段有不同的生物量, 而生物量随时间的变化是受 各种复杂因素制约的。生物种群之间的竞争往往表现在对有限空间资源和其它生 活条件之间的竞争，还有环境条件变化对生物种群实际增长率也有影响。本文给 出生物种群竞争的数学模型以后，把它应用在生态学，进而预测生物种群竞争结 局。生物种群间的关系，重要的是表现在食物和生存空间上。达尔文在“自然选 择和物种起源”一书中写道：“因为同属的生物在习性、素质特别是在构造方面 通常具有的相似性，所以如果处于相互竞争状态时，则他们之间的斗争比不同属 生物之间的斗争更为激烈。”本文给出种群竞争的数学模型，并把它应用在生态 学的某些方面，进而预测生物竞争的结果。
对（2.2.7）式分离变量：
两边积分并整理得：
(1
N
+
1)
K−N
dN
=
kKdt…………………………（2.2.8）
N
=
K 1+Ce−kKt
………………………………（2.2.9）
令N(0) = N0，求得：
C = K−N0………………………………（2.2.10）
N0
故（2.2.7）的满足初始条件N(0) = N0的解为：
Keywords: population competition, mathematical model, environmental conditions
2. 主体部分 2.1 绪论
问题的提出与研究背景： 种群是在一定空间范围内同时生活着的同种个体的集群，是生态学所研究的 最小的生态单位。种群指的是分布在同一生态环境中,能自由交配、繁殖的一群 同种个体。在生物组织层次结构中,种群代表由个体水平进入群体水平的第一个 层次。因为有性生殖过程是一个基因重组过程,重组产生新的变异,可供自然选择, 所以相互交配繁育的种群便构成了一个进化的单位,它可能成为分化新物种的起 点。有的生物还环绕着繁育关系组成一定的社群结构。另一方面,同一地区的个 体共享同一资源,因而在对待资源的关系上又表现出种内竞争或合作的关系。 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存； 弱肉强食。当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局 是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。种群竞争可分为种 间竞争和种内竞争。种间竞争是不同种群之间为争夺生活空间、资源、食物等而 产生的一种直接或间接抑制对方的现象。在种间竞争中常常是一方取得优势而另 一方受抑制甚至被消灭。种间竞争的能力取决于种的生态习性、生活型和生态幅 度等，具有相似生态习性的种群，在资源的需求和获取资源的手段上竞争都十分 激烈，尤其是密度大的种群更是如此。种间竞争可以保证物种的生存和对资源的 有效利用，以及保持稳定的生态位；当个体对资源的需要非常相似时，竞争会特 别激烈。种内竞争是生态学的一种主要影响力，是扩散和领域现象的原因，并且 是通过密度制约过程进行调节的主要原因。种内竞争的主要作用是优胜劣汰，保 持种群活力，维持种群健康发展。 近年来，随着自然生态平衡失调、人为捕杀和环境污染等问题的频繁发生， 导致各种物种面临着灭绝的危害，人们对生态学的研究也越来越重视。两个或两 个以上的种群生活在同一环境下时，为了争夺有限的同一食物来源和生活空间， 在它们之间就会存在着相互竞争、相互依存或弱肉强食的关系。最常见的结局便 是竞争力较弱的种群灭绝，而竞争力较强的种群得以生存，并达到环境容许的最 大量。再这样的现状下，我们通过常微分方程的学习，提出了研究种群竞争模型 的课题，为了更好地保护环境，保护生态平衡做出相应的保护措施。
年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯 （E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和 Logistic 曲线十 分吻合。
大量实验资料表明用 Logistic 模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。 例如，高斯把 5 只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时 草履虫以每天 230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大 量 375 个。
⑵Logistic 模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)，
从而有：
dN dt
=
r(N)N……………………………（2.2.5）
对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程：
dN dt
=
(r
−
aN)
或dN
dt
=
r
(1
−
N)
K
N………………（2.2.6）
（2.2.6）式被称为 Logistic 模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰
数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种