4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作： rj ri k （ cj ci k ） D 0 ．
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1i a1n
5． D
a21
a22
(a2i
a2i )a2n
D
a21
a22
a2i a2n
矩阵转置： 若 Α (aij ) ，则 ΑT (a ji ) (A B)T AT BT ，(AB)T BTAT 若 A AT ， A 为对称阵
方阵的行列式： n 阶方阵 A 元素构成的行列式，记 A 或 det A ．
伴随矩阵：
A11
A*
A12
A1n
A21 A22
二元线性 方程组：
aa1211xx
a12 y a22 y
b1 b2
第一章 行列式
D a11 a21
a12 a22
， D1
b1 b2
a12 a22
， D2
a11 a21
b1 b2
x D1 ， y D2
D
D
排列的逆 序数：
n
t ti （ ti 为排列 p1 p2 pn 中大于 pi 且排于 pi 前的元素个数）
D1 D
, x2
D2 D
,, xn
Dn D
，其中 D j
a11
an1
a1, j1 b1 a1, j1
an, j1 bn an, j1
a1n
ann
( j 1,2,, n) ．
定理 4： 若上线性方程组的系数行列式 D 0 ，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则 D 0 ．
定理 5： 若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式 D 0 ，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则 D 0 ．
ni j1
x n 1 1
x n 1 2
x n 1 3
x n 1 n
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, 设方程组 a21x1 a22x2 a2nxn b2 , ，若 D
an1x1 an2 x2 ann xn bn
a11
an1
a1n 0 ，则方程组有惟一解：
ann
x1
注：任何 n 阶行列式总能利用行运算 ri+krj 化为上(下)三角行列式．
对角行列式
上 D（下 DT）三角形行列式
1
0
0
1
2
12 n ，
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
0
n
n
0
a11
0
D
a21
a22
a11a22 ann
an1 an2 ann
a11 a1k
a11 a1k
D1 det(aij )
t 1
t 为奇数奇排列， t 为偶数偶排 列， t 0 标准排列。
n 阶行列 式：
定理 1：
a11 a12 a1n
D
det(aij
)
a21
a22
a2n
= (1)t a1p1 a2 p2 anpn
t 为列标排列的逆序数．
an1 an2 ann
排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性 推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数
k 1
Dij
D, 0,
当i 当i
j, n
j;
或
k 1
aik
Ajk
Dij
D, 0,
当i 当i
j, j; 其中ij
1, 0,
当i j, 当i j.
范德蒙德 行列式：
克拉默法 则：
1 1 11
x1 x2 x3 xn
Dn x12 x22 x32 xn2 ＝ (xi x j ) ．证明用数学归纳法．
引理： n 阶行列式 D 中，若第 i 行所有元素除 aij 外都为零，则有 D aij Aij ．
定理 3： (代数余子 式性质)
行列式等于它的任一行(列)的各元素和其对应的代数余子式乘机之和． 推论：行列式某一行(列)的元素和另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零．
n
aki Akj
a21
a22
a2i a2n
an1 an2 (ani ani )ann
an1 an2 ani ann an1 an2 ani ann
上式为列变换，行变换同样成立．
6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
记作： ci ci kcj ( ri ri krj )， D 不变．
矩阵和矩 阵相乘：
若 Α (aij ) 是一个 m s 矩阵， B (bij ) 是一个 s n 矩阵，且 C AB ，则 C (cij ) 是一个 mn 矩阵， 且 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj (i 1,2,, m ; j 1,2,, n) ．若 AB BA ，称 A 和 B 是可交换的．
第二章 矩阵及其运算
n 阶单位矩阵(单位阵)：
对角矩阵(对角阵)：
纯量阵：
1
E
0
0 1
0 0
0 0 1
λ1
Λ
0
0
λ2
0 0
0 0 λn
λ
E
0
0 λ
0 0
0 0 λ
EA AE A ．
另可记作 Λ diag(1,2,,n ) ．
(E)A A ， A(E) A ．
定理 2： n 阶行列式可定义为 D (1)t a a p11 p2 2 apnn = (1)t a1p1 a2 p2 anpn ．
1．D=DT，DT 为 D 转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)
2．互换行列式的两行(列)，行列式变号．
推论：两行(列)完全相同的行列式等于零．
记作： ri rj （ ci c j ） D D ．
a
b
若对 D ak1 c11
ck1
akk c1k b11
ckk bk1
设
ak1Βιβλιοθήκη b1kb11D2 det(bij )
bkk
bn1
akk ， b1n
bnn
ab
若 2n 阶行列式 D2n
cd
，
c d
2n
则有 D=D1D2．
有 D2n=(ad-bc)n．
余子式： n 阶行列式中把 aij 所在的第 i 行和第 j 列去掉后，余下 n-1 阶行列式． 代数余子式： Aij (1)i j Mij
记作： ri rj （ ci c j ） D D 0 ．
3．行列式乘以 k 等于某行(列)所有元素都乘以 k． 推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面．
记作： kD ri k （ kD ci k ）．
记作： kD ri k （ kD ci k ）．
行列式的 性质：