A
E
A
C
P
P
O
B
O
D
B
F
④如图所示，在∠AOB 的边 AO，BO 上分别找一点 E，F 使得 DE＋EF＋CF 最小．分别过点 C，D 作关于 AO， BO 的对称点 D′，C′，连接 D′C′，并与 AO，BO 分别交于点 E，F，此时 DE＋EF＋CF 最小，则点 E，F 即 为所求．
A
D' A
∴PC＋PD 最短时，P 点的坐标为：P（32，0）．
y
C
P
x
O
E
D
2．（11 菏泽）如图，抛物线 y＝21x2＋bx﹣2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC＋MD 的值最小时，求 m 的值．
A
A
l
l
B
②如图所示，在直线 l 上找一点 P 使得 PA＋PB 最小．过点 B 作关于直线 l 的对称点 B′，BB′与直线 l 交 于点 P，此时 PA＋PB 最小，则点 P 即为所求．
A B l
A B
l P
B'
③如图所示，在∠AOB 的边 AO，BO 上分别找一点 C，D 使得 PC＋CD＋PD 最小．过点 P 分别作关于 AO，BO 的对称点 E，F，连接 EF，并与 AO，BO 分别交于点 C，D，此时 PC＋CD＋PD 最小，则点 C，D 即为所求．
B
B
A
A
A'
C
D
l
C
D D'
l
B'
⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点 P 为抛物线（y＝14x2）上的一点，点 A（0，1）在 y 轴正半轴．点 P 在什么位置时 PA＋PB 最小？过点 B 作直线 l：y＝－1 的垂线段 BH′，BH′与抛物线交于点 P′，此时 PA ＋PB 最小，则点 P 即为所求．
∴代入二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1， ∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x 或 y＝x2＋2x； （2）∵m＝2， ∴二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1 得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1， ∴抛物线的顶点为：D（2，－1）， 当 x＝0 时，y＝3，∴C 点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）； （3）当 P、C、D 共线时 PC＋PD 最短， 【方法一】 ∵C（0，3）、D（2，－1）， 设直线 CD 的解析式为 y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3， 当 y＝0 时，－2x＋3＝0，解得 x＝32，∴PC＋PD 最短时，P 点的坐标为：P（32，0）． 【方法二】 过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E， ∵PO∥DE，∴PDOE＝CCOE ，∴P2O＝34，解得：PO＝23，
y
y
B
P A x
O
B
P
A
P'
x
O
l H H'
【典型例题】 1．（13 广东）已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当 m＝2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D，求 C、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PC＋PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由．
精品 word 文档
. y
AO
x B
C
D
【思路点拨】
（1）把点 A 的坐标代入求出 b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点 D 的坐标； （2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点 B， C 的坐标，再得出 AB，AC，BC 的长度，易得 AC2＋BC2＝AB2，得出△ABC 是直角三角形； （3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′，连接 C'D 交 x 轴于点 M，根据“两点之间，线段最短”可知 MC＋MD 的值最小．求出直线 C'D 的解析式，即可得出点 M 的坐标，进而求出 m 的值．
【解题过程】
解：（1）∵点
A（－1，0）在抛物线
y＝12x2＋bx－2
1 上，∴2×（－1
）2＋b×（－1）－2＝0，解得 b＝－23，
∴抛物线的解析式为 y＝12x2－32x－2＝21（x－23）2－285，∴顶点 D 的坐标为 （32，－285）．
（2）当 x＝0 时 y＝－2，∴C（0，－2），OC＝2． 当 y＝0 时，21x2－32x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5． ∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2． ∴△ABC 是直角三角形．
.
最短路径问题——和最小
【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军
饮马问题）．如图所示，在直线 l 上找一点 P 使得 PA＋PB 最小．当点 P 为直线 AB′与直线 l 的交点时，PA ＋PB 最小．
A B l
A B
l P
B'
【方法归纳】 ①如图所示，在直线 l 上找一点 B 使得线段 AB 最小．过点 A 作 AB⊥l，垂足为 B，则线段 AB 即为所求．
D
ED
C
C
O
B
O
F
B
C'
⑤如图所示，长度不变的线段 CD 在直线 l 上运动，在直线 l 上找到使得 AC＋BD 最小的 CD 的位置．分别
精品 word 文档
Байду номын сангаас
.
过点 A，D 作 AA′∥CD，DA′∥AC，AA′与 DA′交于点 A′，再作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 A′B′ 与直线 l 交于点 D′，此时点 D′即为所求．
y
【思路点拨】
精品 word 文档
C
x O
D
.
（1）由二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0），直接代入求出 m 的值即可； （2）把 m＝2 代入求出二次函数解析式，令 x＝0，求出 y 的值，得出点 C 的坐标；利用配方法或顶点坐标 公式求出顶点坐标即可； （3）根据当 P、C、D 共线时根据“两点之间，线段最短”得出 PC＋PD 最短，求出 CD 的直线解析式，令 y ＝0，求出 x 的值，即可得出 P 点的坐标． 【解题过程】 解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0），