二次函数压轴题精讲1．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△为直角三角形时点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线﹣x2交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△4，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作⊥x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值．5．如图，在矩形中，5，4，点D为边上一点，将△沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B 时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作⊥于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接、、．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△周长最小时“好点”的坐标．7．如图，已知抛物线﹣x2与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△的面积最大？最大面积是多少？（3）当△的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△的面积等于△的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知二次函数L1：2﹣23（a＞0）和二次函数L2：﹣a（1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数2﹣23（a＞0）的最小值为，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是．（2）当时，求a的值，并判断四边形的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△为等腰三角形时，求方程﹣a（1）2+1=0的解．9．如图，在平面直角坐标系中，直线2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线2的对称轴是﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，．求△的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作垂直x轴于点N，使得以点A、M、N 为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线1相交于A、B两点，且点A在x 轴上，点B的横坐标为2，连结、．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．11．（2015•孝感）在平面直角坐标系中，抛物线﹣x2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线4经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在上方的抛物线上有一动点P．①如图1，当点P运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；②如图2，过点O，P的直线交于点E，若：3：8，求k的值．12．（2015•无锡）一次函数的图象如图所示，它与二次函数2﹣4的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若，且△的面积等于10，求此二次函数的关系式．13．（2015•济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．14．（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△，求△的面积；（4）在上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△的面积等于△的面积．请直接写出点M的坐标．15．（2015•甘孜州）如图，已知抛物线2﹣52（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．16．（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段上一点P，作∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，3的长度最大？最大值是多少？17．（2015•赤峰）已知二次函数2﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接、、，求证：△是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2015•贵阳）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线2（a≠0）与x轴相交于A （﹣2，0），B两点．（1）a0，b2﹣40（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接，E是抛物线上一动点，过点E作的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2015•宁德）已知抛物线2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线的函数表达式和∠的度数；（3）P为线段上一点，连接，，若∠∠，求点P的坐标．20．（2015•盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D 顺时针旋转90°得到线段，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长；（3）在（2）的条件下：①连接，求∠的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2015•攀枝花）如图，已知抛物线﹣x2与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△的面积最大？若存在，求出D点坐标及△面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△与△的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2015•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线﹣x2过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段的中点，将线段绕点P顺时针旋转90°得线段，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．（1）求b、c的值；（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．23．（2015•金华）如图，抛物线2（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值．（2）连接，试判断△是否为等腰三角形，并说明理由．（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线或射线上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2015•德州）已知抛物线﹣2+42m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．25．（2015•湖北）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边的中点，连接，点E在第一象限，且⊥，．以直线为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作⊥于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△相似？（3）点M为直线上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2015•威海）已知：抛物线l1：﹣x23交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线1上一动点，连接，，当时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段长度的最大值．27．（2015•东营）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线下方的抛物线上有一点D，使得△的面积最大，求点D的坐标；（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2015•临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形面积最大？并说明理由．29．（2015•自贡）如图，已知抛物线2（a≠0）的对称轴为直线﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线经过B、C两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴﹣1上的一个动点，求使△为直角三角形的点P 的坐标．30．（2015•丹东）如图，已知二次函数2的图象与y轴交于点A（0，4），与x 轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接、．（1）请直接写出二次函数2的表达式；（2）判断△的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段上运动（不与点B、C重合），过点N作∥，交于点M，当△面积最大时，求此时点N的坐标．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：是∠的角平分线，所以，6∵10，∴4，设，则8﹣x由勾股定理得：3∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知，﹣﹣．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，﹣取得最大值4（即为的长）；设线段的垂直平分线与直线的交点为K，当点Q与点K重合时，﹣取得最小值0．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为（x﹣3）（x﹣8）．将0，6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线的解析式为﹣26.4分）设点P的坐标为（x，﹣26）．解法一：如图，作∥交直线于点P，连接，作⊥x轴于点M．∵∥，∴∠∠，∠∠．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，＜．∵，∴＜，即四边形的对边与平行但不相等，∴直线上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取的中点E，作点D关于点E的对称点P，作⊥x轴于点N．则∠∠，．可得△≌△．由，可得E点的坐标为（4，0）．，﹣，．∴点P的坐标为．（5分）∵时，，∴点P不在直线上．∴直线上不存在符合条件的点P．（6分）（3）﹣的取值范围是．（8分）当Q在的垂直平分线上与直线的交点时，（如点K处），此时，则﹣0，当Q在的延长线与直线交点时，此时﹣最大，直线的解析式为：﹣6，直线的解析式为：﹣26，联立可得：交点为（0，6），∴6，10，∴﹣4，∴﹣的取值范围是：0≤﹣≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．2．（2015•枣庄）如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清的长，实际是直线与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值．（3）当△为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线2上，∴4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线26上，∴，解得，∴抛物线的解析式为2x2﹣86．（2）设动点P的坐标为（n，2），则C点的坐标为（n，2n2﹣86），∴（2）﹣（2n2﹣86），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵＞0，∴当时，线段最大且为．（3）∵△为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠90°．由题意易知，∥y轴，∠45°，因此这种情形不存在；）若点A为直角顶点，则∠90°．如答图3﹣1，过点A（，）作⊥x轴于点N，则，．过点A作⊥直线，交x轴于点M，则由题意易知，△为等腰直角三角形，∴，∴3，∴M（3，0）．设直线的解析式为：，则：，解得，∴直线的解析式为：﹣3 ①又抛物线的解析式为：2x2﹣86 ②联立①②式，解得：3或（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当3时，2=5，∴P1（3，5）；）若点C为直角顶点，则∠90°．∵2x2﹣86=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当时，2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段上，∴综上所述，△为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．3．（2015•酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接′交对称轴于点P，连接，此时△的周长最小，可求出直线′的解析式，即可得出点P的坐标．（3）在直线的下方的抛物线上存在点N，使△面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣4）（0＜t＜5），再求得直线的解析式，即可求得的长与△的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：，∴（x﹣1）（x﹣5）2﹣4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接′交对称轴于点P，连接，此时△的周长最小．设直线′的解析式为，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴﹣，∵点P的横坐标为3，∴×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直线的下方的抛物线上存在点N，使△面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣4）（0＜t＜5），如图2，过点N作∥y轴交于G；作⊥于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线的解析式为：﹣4，把代入得：﹣4，则G（t，﹣4），此时：﹣4﹣（t2﹣4）=﹣t2+4t，∵5，∴S△△△×ו×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10﹣2（t﹣）2+，∴当时，△面积的最大值为，由，得：2﹣4=﹣3，∴N（，﹣3）．【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．4．（2015•阜新）如图，抛物线﹣x2交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△4，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作⊥x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣23），根据S△4S△列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线的解析式为3，再设Q点坐标为（x，3），则D 点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入﹣x2，得，解得．故该抛物线的解析式为：﹣x2﹣23．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为﹣x2﹣23，则易得B（1，0）．∵S△4S△，∴×3×|﹣x2﹣234××1×3．整理，得（1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得﹣1或﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）设直线的解析式为，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直线的解析式为3．设Q点坐标为（x，3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣23），（﹣x2﹣23）﹣（3）=﹣x2﹣3﹣（）2+，∴当﹣时，有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．5．（2015•荆门）如图，在矩形中，5，4，点D为边上一点，将△沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B 时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由折叠的性质可求得、，在△中，由勾股定理可求得，设，在△中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用t表示出、的长，可证明△≌△，可得到，可求得t的值；（3）可设出N点坐标，分三种情况①为对角线，②为对角线，③为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．【解答】解：（1）∵5，4，∴在△中，3，设，则4﹣m，∵3，∴5﹣3=2，在△中，由勾股定理可得222，即m2+22=（4﹣m）2，解得，∴D（﹣，﹣5），∵C（﹣4，0），O（0，0），∴设过O、D、C三点的抛物线为（4），∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得，∴抛物线解析式为（4）2；（2）∵2t，∴5﹣2t，在△和△中，，∴△≌△（），∴，∴5﹣2，∴；（3）∵抛物线的对称轴为直线﹣2，∴设N（﹣2，n），又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），设M（m，y），①当为对角线，即四边形是平行四边形时，则线段的中点横坐标为=﹣1，线段中点横坐标为，∵，互相平分，∴=﹣1，解得2，又M点在抛物线上，∴×22+×2=16，∴M（2，16）；②当为对角线，即四边形是平行四边形时，则线段的中点横坐标为，线段中点横坐标为=﹣3，∵，互相平分，∴=﹣3，解得﹣6，又∵M点在抛物线上，∴×（﹣6）2+×（﹣6）=16，∴M（﹣6，16）；③当为对角线，即四边形是平行四边形时，则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．6．（2015•河南）如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作⊥于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接、、．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△周长最小时“好点”的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出，的长，进而求出即可；（3）根据题意当P、E、F三点共线时，最小，进而得出P点坐标以及利用△的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案．【解答】解：（1）∵边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（﹣8，0），设抛物线解析式为：2，则，解得：故抛物线的解析式为：﹣x2+8；（2）正确，理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），∵D（0，6），∴2+2，。