穷举用技巧
【例1】
N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。

N的最大值是。

【例2】
如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为一条“龙”，n为这条龙的长度。

比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。

问：龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。

【例3】
黑板上写有1、2、3、……、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止。

如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜。

⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？
⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？
【例4】
如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
测试题
【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。

【例2】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
答案：
【例1】【分析】
由于30235=⨯⨯，从质数的观点看整除，如果自然数N 能被30整除，那么自然数N 至少含有三个质因数2，3，5。

设：312235r r r N =⨯⨯⨯。

自然数N 恰有30个不同的因数，根据约数的个数公式：12311130235r r r +⨯+⨯+⨯==⨯⨯（）（）（）。

注意
到235⨯⨯是三个约数之积，由此可知自然数N 中质因数的个数恰好有3个。

因此
123111235r r r +⨯+⨯+=⨯⨯（）（）（），由此可知123r r r （，，）必是
124（，　，　）的一个排列。

综上所述，所求的自然数有：24235⨯⨯，42235⨯⨯，24235⨯⨯，42235⨯⨯，42235⨯⨯，24235⨯⨯。

【例2】【分析】
6只能表示为()51+或()()1121++，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：
222222222222222232527211213217219223
8323537311
45253
2721⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种种种种 所以符合条件的自然数一共有1842116++++=(种)。