六年级奥数最详细全面－数论————————— 作者：
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数论
数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密,但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视.本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等．
1【分析】⑴首先可以断定编号是2,3，4,5,6,７号的同学说的一定都对.不然，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合．因此,这个数能被2,３,4，5，6,７都整除.
其次利用整除性质可知,这个数也能被2×5，3×4，２×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对.从而可以断定说的不对的编号只能是8和9.
【例 1】 个连续的自然数之和为 ，若 、 、 、 都是质数，则 的最小值是多少?
【分析1】遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这 个连续自然数中最小的一个是 ,则最大的一个是 （遇到多个连续自然数问题,转化时一般均采用假设法,自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数),则它们的和是:
,则 是质数，所以 的最小值是 ． 的最小值是： .
5位数数字和最大的为９×5=4５,这样４3的可能性只有9,9，9，９,７或9，9,9，8，8.这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99９79,97999,98９8９．
【例 2】已知 是一个四位数,若两位数 是一个质数， 是一个完全平方数， 是一个质数与一个不为 的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是____＿＿____＿__．
本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻．
【例 1】一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数．
【分析1】现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被1１整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手．
【例 2】 为自然数，且 ， 、……、 与690都有大于l的公约数. 的最小值为____＿__．
【分析2】 ，连续９个数中,最多有５个是２的倍数,也有可能有４个是2的倍数,
如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个５的倍数,1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、３、５、23的倍数,即与6９０没有大于ｌ的公约数．
【例 4】有15位同学，每位同学都有编号,它们是１号到15号.１号同学写了一个自然数，2号说:“这个数能被2整除”,３号说“这个数能被3整除”,……，依次下去,每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，１号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你，1号写的数是五位数,请求出这个数.
［拓展］1０1个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积,那么这个最小的和应该是__＿____.
［分析1］设这 个自然数中最小的数为 ,则１0１个连续自然数的和为:
＋( +1）+( +2)＋……+（ +1０0)
=( + +100)×1０1 2＝( ＋50)×10１
因为10１是质数,所以 +50必须是３个质数的乘积，要使和最小．
经检验 +50＝66=2×3×11最小,所以和最小为６6×1０1＝６666.
［铺垫］1已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字,那么四位数〇△□☆是多少?
［分析1］因为□△□△□△ □△ ，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△ ．作质因数分解得 ，由此可知该数分解为 个两位数乘积的方法仅有 .注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□= ，□〇= ,☆△= .即〇= ，△= ,□= ，☆= ，所求的四位数是 ．
【例 3】已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是２88和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?
【分析3】设甲乙两个数为 ， ,( 和 都不等于1或72)，则 ， 两数互质，于是 ， 的最小公倍数为 ，所以 , ,由于 , 互质,所以 或 不可能在 ， 的因子中都出现，所以 ， 一个是 一个是 ，所以两数的乘积等于 ，和为 .
【分析】本题综合利用数论知识，因为 是一个质数，所以 不能为偶数,且同时 是一个完全平方数，则符合条件的数仅为 、 ,当 时，满足 是一个质数的数有 ， ， ， , ，时,此时同时保证 是一个质数与一个不为 的完全平方数之积，只有 符合;
当 ，满足 是一个质数的数有 ， , , ， , ,此时同时保证 是一个质数与一个不为 的完全平方数之积，只有 符合.
所以9个数中只有4个奇数，这个数中,有2个3的倍数，1个５的倍数,１个23的倍数,则 、 、 、 、 是偶数，剩下的４个数中 、 是3的倍数(５个偶数当中只有 是3的倍数)，还有 、 一个是5的倍数,一个是23的倍数.
剩下的可以用中国剩余定理求解, 是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是２3的倍数，另一个是５的倍数，显然 是最小解,所以 的最小值为19．
⑵这个数是２，3，４,5,6,7，１0，11,1２，13,１4，１5的公倍数,
由于上述十二个数的最小公倍数是60060，
因为６００6０是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是６0060.
［拓展］一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为１0,那么此数为几?
［分析］最小的三个约数中必然包括约数1,除去1以外另外两个约数和是9，由于9是１个奇数，所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的,其中一定有一个是偶数,如果一个数包含偶约数,那么它一定是2的倍数,即２是它的约数.于是显然的,2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是1４的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、５、６,所以这个数只能是1４或98，其中有６个约数的是9８．