第8模块 第1节[知能演练]一、选择题1．已知直线l 过点(a,1)，(a ＋1，tan α＋1)，则( )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．(180°－α)一定是直线l 的倾斜角解析：根据题意，直线l 的斜率k ＝(tan α＋1)－1(a ＋1)－a＝tan α.令θ为直线的倾斜角， 则一定有θ∈[0°，180°)，且tan θ＝k ， 所以若α∈[0°，180°)，则α是直线l 的倾斜角； 若α∉[0°，180°)，则α不是直线l 的倾斜角， 所以α不一定是直线l 的倾斜角． 答案：C2．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0 解析：因为直线l 2经过点(0,5)， 且方向向量为b ＝(－1，k )，所以直线l 2的方程为y －5＝－kx .又因为直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，且l 1⊥l 2，所以－k ·3＝－1⇒k ＝13，所以直线l 2的方程为y －5＝－13x ，即x ＋3y －15＝0. 答案：B3．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A ．－23 B.23C ．－32 D.32解析：由题意，可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M (2k ＋1,1)，N (k －6k －1，－6k ＋1k －1)． 又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.答案：A4．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0 解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ， 又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.解法二：设方程为x a ＋yb ＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab)≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小，∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.答案：B 二、填空题5．已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是________．解析：设l 的倾斜角为α，则AB 的倾斜角为2α，tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，∴2tan α1－tan 2α＝34，∴tan α＝13或－3. ∵tan2α＝34>0，∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°.∴tan α＝13，即l 的斜率为13.答案：13.6．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为__________．解析：∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点，∴l 1的方程为：2x －y ＋8＝0. 答案：2x －y ＋8＝0 三、解答题7．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]．8．一条光线经过P (2,3)点，射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后穿过Q (1,1)． (1)求光线的入射方程；(2)求这条光线从P 到Q 的长度．解：(1)设点Q ′(x ′，y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点， ∴k l ＝－1，∴k QQ ′＝1.∴QQ ′所在直线方程为y －1＝1·(x －1)． 即x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0， 解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为(－12，－12)．又∵M 为QQ ′的中点，由此得⎩⎨⎧1＋x ′2＝－121＋y ′2＝－12解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2. ∴Q ′(－2，－2)．设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q ′共线．则P (2,3)，Q ′(－2，－2)，得入射方程为 y ＋23＋2＝x ＋22＋25x －4y ＋2＝0. (2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |＝|NQ ′|. ∴|PN |＋|NQ |＝|PN |＋|NQ ′|＝|PQ ′|＝(3＋2)2＋(2＋2)2＝41，即这条光线从P 到Q 的长度是41.[高考·模拟·预测]1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A2．直线x ＋ay ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行的一个必要不充分条件是( )A ．a ＝－1B ．a ＝3C ．a ≠0D ．－1<a <3解析：若两直线平行，则a (a －2)＝1×3，且1×2a ≠(a －2)×6，解得a ＝－1，于是可以推出a ≠0；反之，当a ≠0时，不一定能推出两直线平行，故选C.答案：C3．经济学中的“蛛网理论”(如下图)，假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1，“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1，k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”平衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达到均衡点P ，与直线l 1，l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达到均衡点P 的条件为( )A.k 1＋k 2>0 B ．k 1＋k 2＝0 C ．k 1＋k 2<0 D ．k 1＋k 2可取任意实数解析：图1中最终能达到均衡点P .图2、图3均不能达到均衡点P .如右图，过P 点作平行于x 轴的直线交BC 于点Q ，在△BPQ 中，k 1＝tan α＝BQPQ>1，在△ABC 中，tan β＝BCAB<1.∴k 2＝－tan β>－1，∴k 1＋k 2>0. 答案：A4．与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，且与抛物线y ＝x 2相切的直线的方程是______________． 解析：与x ＋2y ＋3＝0垂直的直线的斜率为2，所以y ′＝2x ＝2，x ＝1，切点坐标为(1,1)，所求的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝05．如右图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)；点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a ，b ，c ，p 为非零常数．设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F .某同学已正确求得直线OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a)y＝0.请你完成直线OF 的方程：(__________)x ＋(1p －1a)y ＝0.解析：点E 为直线BP ：x b ＋y p ＝1与直线AC ：x c ＋ya＝1的交点，两方程相减可得(1b －1c )x ＋(1p －1a )y ＝0；点F 为直线CP ：x c ＋y p ＝1与直线AB ：x b ＋y a 1的交点，两方程相减可得(1c －1b )x ＋(1p －1a)y＝0.答案：1c －1b6．已知四边形ABCD 的顶点为A (x ，y )，B (6,1)，C (3,3)，D (2,5)，是否存在x ，y 使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出A 点坐标；若不存在，说明理由．解：假设存在x ，y 使四边形ABCD 为直角梯形．k BC ＝－23，k CD ＝－2，∴BC 与CD 不垂直．若AB ∥CD ，则AB ⊥AD .∵k AB ＝y －1x －6，k AD ＝y －5x －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y －1x －6＝－2y －1x －6·y －5x －2＝－1，解得x ＝185，y ＝295. 若AD ∥BC ，则AD ⊥AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＝－23y －1x －6·y －5x －2＝－1解得x ＝8613，y ＝2513. 故存在A (185，295)或A (8613，2513)．。