（2） ˆ0 = Y − α ˆ1 X 1 − α ˆ 2 X 2 = (Y − X 1 ) − (α ˆ1 − 1) X 1 − α ˆ2 X 2 α ˆ X −β ˆ X = (Y − X ) − β
1 1 1 2 2
ˆ =β
0
证毕。
（3）设： Z i = Yi − X 1i （a）式的拟合优度为：
2 i 3i 2 3i
2 i 3i 2 3i
2 i 3i 2 3i
ˆ1 − 1 =α & & (y & −x & ) ∑x ∑x & x & & (y & −x & ) x ∑x ˆ = ∑ β & & x & ∑x ∑x & x & & ∑x ∑x & & y & & & ∑x ∑x ∑x ∑x & x & & y & & x & & x & ∑x ∑x ∑x ∑x = − & & x & & & x & ∑x ∑x ∑x ∑x & x & & & x & & ∑x ∑x ∑x ∑x
证明： 根据 OLS 估计原理依次求解上述待估参数可证明。 或
ˆi 为： 由回归方程（2）可得残差ν ˆ0 − α ˆ1 X 2i ，将其带入回归方程（3）可得： νˆi = X 1i − α ˆ0 − α ˆ1 X 2i ) + γ 2 X 2i + wi Yi = γ 0 + γ 1 ( X 1i − α ˆ 0 ) + γ 1 X 1i + (γ 2 − γ 1α ˆ1 ) X 2i + wi = (γ 0 − γ 1α
将上式与回归方程（1）比较，可得到：
ˆ = (γ − γ α ˆ β 0 0 1 0) ˆ = γˆ β 1 1 ˆ = (γ − γ α ˆ β 2 2 1 1)
∧ ∧
7． 考虑如下过原点回归：
ˆ X +β ˆ X +e Yi = β 1 1i 2 2i i
（1） 求参数的 OLS 估计量； （2） 对该模型，是否仍然有结论
2
平方和（SS） 65965 — 66042
自由度（d.f.） — — 14
平方和的均值 — —
要求： （1）样本容量是多少？
R 2 = 1−
RSS /(n − k − 1) 77 (16 − 2 − 1) = 1− = 0.9987 TSS /(n − 1) 66042 (16 − 1)
（5） 检验假设：X 2 和 X 3 对 Y 无影响。 将用到方程总体线性显著性的 F 检验。 （6）不能确定。
此时，正规方程组仅包含两个正规方程。
∑e
i
= 0 将不再成立，而 ∑ ei X 1i = 0 和 ∑ ei X 2i = 0 仍然成立。
8． 对下列模型： （a） y i = α + βxi + 2 z i + u i （b） y i = α + βxi − βz i + u i 求出 β 的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计 值作比较： （c） y i = α + βxi − γz i + u i ，你认为哪一个估计值更好？
第三章课后作业 1． 多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无 偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 答：多元线性回归模型的基本假定有： （1） 解释变量是非随机的或固定的，且相互之间互不相关（不存在多重共 线性） ； （2） 随机扰动项具有 0 均值、同方差以及不存在序列相关（不存在自相 关） ； （3） 解释变量与随机扰动项不相关； （4） 随机扰动项服从正态分布； （5） 样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数； （6） 回归模型的设定是正确的。 在证明最小二乘估计量的无偏性中， 利用了解释变量与随机误差项不相 关的假定。
2 2i 2 i 3i 2 i 3i 2 3i 2i 3i i i 2 i 3i 2 3i 2 2i 2 i 3i 2 2i 2 2i 2 i 3i 2 i 3i 2 3i 2 i 3i
& ∑x & ∑x
&i − x &2i ) (y & & 3 i ( yi − x2 i )
2i
& x & ∑x & ∑x

∑e
解：
i
= 0 ； ∑ ei X 1i = 0 ； ∑ ei X 2i = 0
ˆ X −β ˆ X )2 （1） Q = ∑ ei2 = ∑ (Yi − β 1 1i 2 2i
所以 OLS 估计的正规方程组为：
⎧ ∂Q ˆ X −β ˆ X )(− X ) = 0 ⇒ e X = 0 = 2∑ (Yi − β ∑ i 1i 1 1i 2 2i 1i ⎪ ∂β ˆ ⎪ 1 ⎨ ˆ X −β ˆ X ) − (X ) = 0 ⇒ e X = 0 ⎪ ∂Q = 2∑ (Y − β ∑ i 2i i 1 1i 2 2i 2i ˆ ⎪ ⎩ ∂β 2
6． 考虑下列三个实验步骤： （1）对 Yi = β 0 + β1 X 1i + β 2 X 2i + μi 进行回归；
ˆi ； （2）对 X 1i = α 0 + α1 X 2i + ν i 进行回归，计算残差ν ˆi + γ 2 X 2i + wi 进行回归。 （3）对 Yi = γ 0 + γ 1ν ˆ = γˆ ，并直观的解释该结果。 试证明 β 1 1
ˆi2 u ESS ∑ R =1− =1− TSS ∑ (Yi − Y )2
2 a
（b）式的拟合优度为：
ESS ∑ν i R = 1− = 1− TSS ∑ (Zi − Z )2
2 2 b
ˆi 成立，即二式分子相同，若要模型（b）的 ˆi = ν 在（2）中已经证得 u
2 拟合优度 Rb2 小于模型（a）的拟合优度 Ra ，必须满足：∑ ( Z i − Z ) 2 < ∑ (Yi − Y ) 2 。
设定生产函数为 Y = AK α Lβ e μ （1） 利用上述资料，进行回归。 （2） 回答：中国 2000 年各地区的生产呈现规模报酬不变状态吗？
ˆ ∗ = Xβ ˆ + e − Xβ ˆ ∗ = e − X (β ˆ∗ − β ˆ) e∗ = Y − Xβ
所以
ˆ * −β ˆ )′X ′X(β ˆ * −β ˆ ) ′ e′ * e * = e e + (β
于是
′ e′ *e* ≥ e e
4． 在一项调查大学生一学期平时成绩（Y）与每周在学习（X1） 、睡觉（X2） 、 娱乐（X3）与其它（X4）各种活动所用的时间的关系的研究中，建立如下的 回归模型： Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + β 3 X 3i + β 4 X 4i + μ i 如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数 168。问：保持其它条件不 变，改变其中一个变量的说法是否有意义？该模型是否违背基本假设的情 况？如何修改此模型以使其更加合理？
3． 为什么说对模型参数施加约束条件后， 其回归的残差平方和一定不比未施加 约束的残差平方和小？在什么样的条件下，受约束回归和不受约束回归的结 果相同？ 解：假设无约束样本回归的矩阵表达式为：
ˆ +e Y = Xβ
受约束样本回归的矩阵表达式为：
ˆ +e Y = Xβ ∗ ∗
则受约束样本回归的残差平方和 RSSR 为：
解： 保持其它条件不变，改变其中一个变量的说法没有意义； 该模型违背了解释变量间不存在多重共线性的基本假设； 不能将四个解释变量同时纳入回归模型。
5． 考虑如下两个模型： （a） Yi = α 0 + α 1 X 1i + α 2 X 2i + μ i （b） Yi − X 1i = β 0 + β1 X 1i + β 2 X 2i + ν i
将模型⑴改写成 ( y i − 2 zi ) = α + βxi + ui ，则 β 的估计值为：
ˆ= β
∑ ( x − x )( y − 2 z ) ∑(x − x)
i i i
2
i
将模型⑵改写成 yi = α + β ( xi − zi ) + ui ，则 β 的估计值为：
ˆ= β
∑(x − z − x + z) y ∑(x − z − x + z)
2 2i 2i i 2i 2 i 3i 3i i 2i 2 2 2i 2 i 3i 2 i 3i 2 3i 2 2i 2i 3i i 2 2i 2 2i 2 i 3i 2 2i i 2 i 3i 2 2i 2 i 3i 2 i 3i 2 3i 2 i 3i
2 i 3i
2 i 3i 2 3i
ˆ2 =α
ˆ ) = E ((X′X) −1 X′Y) E (β = E ((X′X) −1 X′( Xβ + μ )) = β + (X′X) −1 E (X′μ ) =β
在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。
2． 在多元线性回归分析中，t 检验和 F 检验有何不同？在一元线性回归中，二 者是否具有等价的作用？ 解：多元回归中，t 检验是针对某一个偏回归系数的显著性检验，而 F 检验 则是针对回归方程总体线性关系的显著性检验。 在一元线性回归中，二者具有等价的作用。实际上，在一元线性回归中二 者存在如下的关系： F = t 2 。