1 / 10第三章 中值定理与导数的应用1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。
解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的条件。
又xx f 1)(='，解方程,111,1)1()()(-=--='e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。
因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。
2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。
由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。
又因方程'()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。
因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。
3．若方程 01110=+++--x a x a x a n n n Λ有一个正根,0x 证明:方程0)1(12110=++-+---n n n a x n a nxa Λ必有一个小于0x 的正根。
解：取函数()1011nn n f x a x a xa x --=+++L 。
0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导，且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根。
4．设,11<<<-b a 求证不等式： .arcsin arcsin b a b a -≥-证明：取函数)(,arcsin )(x f x x f =在[a ,b ]上连续，在（a , b ）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),,(b a ∈ξ，使()()'()()f a f b f a b ξ-=-， 即arcsin arcsin )a b a b -=-，故.11arcsin arcsin 2b a b a b a -≥--=-ξ5．设)(x f 在)0](,[b a b a <<上连续，在),(b a 内可导，证明存在),,(b a ∈ξ使.3)()()()(2'22ξξf b ab a a b a f b f ++=-- 证明：取函数3()g x x =，则()g x 在[,](0)a b a b <<上连续，在(,)a b 内可导，由柯西中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使333()()'()f b f a f b a ξξ-=-，即222()()'()()3f b f a f a ab b b a ξξ-=++-。
6．证明恒等式: .2cot arctan π=+x arc x证明：取函数()arctan arccot f x x x =+，则2211'()011f x x x =-=++. 则).()(为常数c c x f =因为(1)arctan1cot12f arc π=+=，故(1)()2f f x π==。
7．证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式),()('x f x f =且,1)0(=f 则x e x f =)(.证明：,0)()()()()(,)()(2=-'=-'='=xx x x x e x f x f e e x f e x f x F e x f x F 因取故3 / 10C x F =)(，又()()()(0)1,1,1,.x x x F F x f x e e====f 故即故8．用洛必达法则求下列极限（1） nn mm a x a x a x --→lim解：()11lim lim 0.m m m m nnn n x a x a x a mx m a a x a nx n ---→→-==≠- （2） xb a xx x -→0lim解：00ln ln limlim ln ln 1x x x x x x a b a a b ba b x →→--==- （3）22)2(sin ln limx xx -→ππ解： 818csc lim )2(4cot lim )2(sin ln lim 22222-=-=--=-→→→x x x x x x x x πππππ（4）)0,1(log lim>>+∞→ααa x xa x解： 0ln 1lim ln 1lim log lim 1===+∞→-+∞→+∞→αααααax x a x x x x x a x （5）)2ln(tan )7ln(tan lim0x x x +→解：22sec 2177sec 71lim 22sec 2tan 177sec 7tan 1lim )2ln(tan )7ln(tan lim 2202200⋅⋅=⋅⋅=+→+→+→x xx x x x x x x x x x x122sec 777sec 2lim 220=⋅⋅=+→x x x（6）x x x 2cot lim 0→解：2122cos lim 22sec 1lim tan2lim2cot lim 202000====→→→→x x x x x x x x x x （7）)11ln 1(lim 1--→x x x 解：11111111ln lim()lim lim1ln 1ln (1)(1)ln x x x x xxx x x x x x x→→→----==---+ 11111lim lim 1(1)ln 21ln x x x x x x x xx→→-===-+++ （8）)ln(lim 11-+→xex x解：因为1ln ln(1)1ln(1)xx e xe xe--=g ，而1lim 1lim )1(ln ln lim 0x 0x 0x =+=-=-+→+→+→xx xx x x xe e e xe e e x .所以e xx e x =-+→)1ln(1lim（9）xx xtan )(lim 1+→解：因为tan tan ln 1()xx x e x-=，而0sin lim csc 1lim cot ln lim ln tan lim 22===-=-+∞→+∞→+∞→+∞→xx x x x x x x x x x x ,所以，tan 01lim()1.xx x→+=9. 验证 xxx x sin lim+∞→ 存在，但是不能用洛必达法则求出。
5 / 10解：由于(sin )'1cos limlim ()'1x x x x xx →∞→∞++=不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：sin sin lim lim1101x x x x xx x→∞→∞+=+=+=。
10. 当10-=x 时，求函数xx f 1)(=的n 阶泰勒公式。
解：因为()()()()1(1)!,1!,n n n n n fx f n x+-=-=-故()()()()()()()23''1'''111'11112!3!f f f f x x x x --=-+-+++++++L ()()()()()()()11111!1!n n nn f f x x n n ξ++-++++()()()()()()2112111111n n n n x x x x ξ++-+⎡⎤=-++++++++-+⎣⎦L其中ξ介于x 与1-之间.11. 求函数xxe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。
解：因为()()()()(),0,n n x fx n x e f n =+=故()()()()()()()()()121''000'02!!1!n n xnn f f f f x xe f f x x x x n n ξ++==++++++L()()32111.2!(1)!1!n n x x x x e n x n n ξξ+⎡⎤=+++++++⎣⎦-+L 其中ξ介于x 与0之间。
12． 确定函数xx x y 6941023+-=的单调区间。
解：函数除0x =外处处可导，且23223221120()(1)10(12186)2'.(496)(496)x x x x y x x x x x x ----+==-+-+ 令'0y =，得驻点121, 1.2x x ==这两个驻点及点0x =把区间(),-∞+∞分成四个部分区间()()11,0,0,,,1,1,.22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()()1,00,1,2x ⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭时，'0y <，因此函数在()1,0,(0,],[1,)2-∞+∞内单调减少。
当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y >，因此函数在1[,1]2内单调增加。
13．证明不等式：当0>x 时，.1)1ln(122x x x x +>+++ 证明：取函数()1ln([0,].f t t t t x =++-∈()'ln(ln((0,).f t t t t x =++-=+∈因此，函数()f t 在[0,]x 上单调增加，故当0x >时，()()0f t f >，即1ln(1010,x x ++->+-=亦即，当0x >时，1ln(x x ++>14. 设x bx x a x f ++=2ln )(在2,121==x x 时都取得极值，试确定b a ,的值，并判断)(x f 在21,x x 是取得极大值还是极小值？ 解：()1'21f x abx x=++ ，()f x 在121,2x x ==取得极值，则7 / 10()'1210f a b =++=，1'(2)4102f a b =++=，故21,.36a b =-=-又因()21''2f x ab x =-+，故()1111''2204636f a b =-+=-=-<，所以()f x 在22x =时取得极大值；()211''120333f a b =-+=-=>，所以()f x 在11x =时取得极小值。