解决问题的思路
插值 三次样条曲线 三次参数样条曲线
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三次样条曲线-定义
对于给定的n个型值点Pi(xi,yi),且hi=xi+1-xi>0, i=1,2,…,n， 若y=S(x)满足下列条件： (1) 在Pi(xi,yi)点上有yi=S(xi)； (2) S(x)在[x1 , xn]上二阶连续可导； (3)在每个子区间[xi , xi+1]上，S(x)是x的三次多项式； 则称S(x)为过型值点的三次样条函数，由三次样条函数 构成的曲线称为三次样条曲线。
M - M =0; n-1
n
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三次样条曲线-程序
程序演示
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三次参数样条曲线
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条三次参数样条曲线插值
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1;
λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
M + 2M =6[ y -( y - y )/ h ]/ h ; '
n-1
n__________n_________n______n__-_1____ n-1
y1" =y2" ，yn-1" =yn" S1" (x1)=2c1= S2" (x2)= 2c2
=>M1= M2 Sn-2" (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1" (xn)= 2cn-1+6dn-1hn-1
=>Mn-1= Mn 得方程组：
M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
M1=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
Mn=0;
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三次样函数的端点条件
(3)抛物端：
曲首线尾的两首段尾曲两即曲线在
三次参数样条曲线
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问题提出
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条曲线光滑连接
p2
pn
p3 p1
p4
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p2
pn
p3 p1
p4
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n-1
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三次样函数的端点条件
(2)自由端：
端点处曲线二阶导数为零
即S1" (x1)=y1"=0 , Sn-1" (xn)=yn"=0 亦即 S1" (x1)= 2c1=0；=>M1=0
Sn-1" (xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0；=> Mn=0 得方程组：
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三次样函数的形式推导
从而有：
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
(3)要求曲线在二阶连续可导，则有
Si' (xi+1)= Si+1' (xi+1) Si" (xi+1)= Si+1" (xi+1) 从而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1
2ci+6di hi=2ci+1 (求di) (4)令Mi=2ci; 则有：
ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6)
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
Sn-1' (xn)=yn' 亦即yn-1'= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6)
Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1 得方程组为：
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三次样函数的形式推导
由定义可知在[xi , xi+1]上，Si(x)可写成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3
ai, bi, ci, di为待定系数
(1)由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有 yi = ai ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1（用于求bi）
(2)由Si' (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2 有 Si' (xi)= bi
由Si" (x)= 2ci+6di(x-xi) 有 Si" (xi)= 2ci
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三次样函数的形式推导
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
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三次样函数的端点条件
(1)夹持端： 端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6)