• 逼近
构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称为对这些 数据点进行逼近（approximation），所构造的曲线称为逼近曲线。
• 拟合
插值和逼近统称为拟合（fitting）。
–线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用一个线性函数：y=ax+b，近似代 替，称为f(x)的线性插值函数。 –抛物线插值:已知在三个互异点 x1 , x2 , x3 的函 数值为 y1 , y 2 , y3 ，要求构造一个函数
矩阵表达式
yi (x) 1 u u

2
0 0 0 yi -1 1 0 y 0 1 0 i 3 u 3 3 2 1 hi mi -1 1 hi mi 2 2 1

三切矢方程
λ i mi-1 2mi μi mi1 Ci
y(u) = a0 + a1u + a2 u + a3 u
2
3
2 y (u ) 1 u u
1 0 0 0 y0 0 0 1 0 y 1 3 u 3 3 2 1 y ' 0 2 2 1 1 y '1
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)


曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：

曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐
两种插值方式的图例
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -6 n=10
•
Charles Hermite（1822－1901） 法国洛林（Lorraine ） 巴黎综合工科技术学院 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。1858 年利用椭圆函数首先得出五次 方程的解。1873年证明了自然 对数的底e的超越性。在现代数 学各分支中以他姓氏命名的概 念（表示某种对称性）很多， 如“Hermite二次型”、 “Hermte算子”等。
记 yx
x - xi-1 x - xi-1 dx = yx hi u= = , \ yu = yx xi - xi-1 hi du
x=xi-1
= mi-1 , yx
x=xi
= mi
\ y(x) = yi-1 F0 (u) + yi F1 (u) + hi [mi-1G0 (u) + mi G1 (u)]
放样现场
模线的形状特征
分段：两个“压子”之间可以认为是一段。数学本 质是每两个“压子”之间曲线的表达式不同 光滑：不象每两点之间连线那样有明显的棱角。数 学本质是整条曲线具有连续的导函数
模线的力学实质
1 M(x) 欧拉公式 ρ(x) EJ 1 y 平面曲线的曲率 2 3 ρ(x) ( 1 y ) 2 y M(x) 3 EJ ( 1 y2 ) 2 M(x) y 1, y EJ
2.1 Hermite 基 函 数
问题：自变量为u,区间[0,1]上两端点的 y0 , y1 , y0 ' y1 '， 构造三次曲线满足条件：
y(u) = a0 + a1u + a2 u 2 + a3 u 3
y0 '

y1 '
y1
y
0
y(u)中系数ai的确定
y(u) = a0 + a1u + a2 u + a3 u
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数
y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1, n)
再用
f ( x)
计算插值，即
y f ( x ).
* *
y1 y0
y
*






x0 x1 x *
xn
几种常用插值方法
分段线性插值：

（3）s(xi)=yi(i=0,1,…,n), s'(x0)=y'0, s′(xn)=y'n。
我们就称s(x)为三次样条函数。
y


yi-1


yi


a
xi-1
xi
b
x
2. 三次样条的理论基础
2.1 Hermite 基 函 数 2.2 三切矢方程 2.3 三次样条插值的局限性
• • • •
CAD/CAM技术基础
闫崇京 机电学院航空宇航制造工程系
三次样条曲线
主要内容
1. 插值问题和样条函数 2. 三次样条的理论基础
1. 插值问题和样条函数
1.1 插值问题 1.2 样条函数的工程背景 1.3 三次样条函数的数学定义
1.1 插值问题
• 插值
给定一组有序的数据点(xi,yi,zi),i=0,1, …,n，要求构造一条曲线顺序 通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（interpolation），所 构造的曲线称为插值曲线。
( x) ax 2 bx c
使抛物线 ( x)在结点 xi (i 1,2,3) xi 处的值相等
处与 f ( x) 在
y
y
y f ( x)
y f ( x)
y ( x)
y ( x)
y1
y2
x2
x
y1
y2
y3 x3
x
o
x1
(a)
o
x1
x2
(b)
图3.1.4 线性插值和抛物插值 线性插值与抛物线插值
y(u) = a0 + a1u + a2 u + a3 u
2
3
G0(u) y1 G1(u) y(u) y0 F0(u) y1 F1(u) y0
Hermite基函数的性质
F0(u),F1(u),G0(u), G1(u)
称为
埃尔米特基函数或 三次混合函数，其 中
F0(u) F1(u) 1
曲线中夹有直线段时拟合效果不好
λ1 2 λ2 μ1 2 m0 m 1 c1 m c 2 2 μn -1 mn-1 cn -1 mn
其中,

(i 1,2,, n 1)
h i1 yi yi1 yi1 yi λi , μ i 1 λ i , Ci 3(λ i μi ) h i h i1 hi h i1
三切矢方程的普通表达形式
λ1m0 2m1 μ1m2 C1
i i-1 i
2
3
系数
y (0) y0 a0 a1 0 a2 0 a3 0 a0
2 3
y (1) y0 a0 a1 1 a2 1 a3 1 a0 a1 a2 a3
2 3
y ' (0) y0 ' a1 2a2 0 3a3 0
两个边界条件
二阶连续的条件
y

yi-1


yi

yi+1


a
xi-1
xi
xi+1
i
b
x
yi 1 ( x ) yi ( x )
i
2.3 三次样条插值的局限性
• 不能解决大挠度问题。 ——参数样条解决 • 不具有局部可修改性。 ——B样条 • 曲线中夹有直线段时拟合效果不好。 • 拟合二阶导数不连续曲线产生较大波动
y(u)中系数ai的确定
a0 1 a 1 1 a2 0 a3 0 0 0 0 y0 y 1 1 1 1 1 0 0 y '0 1 2 3 y '1
1
0 0 0 y0 a0 1 a 0 0 1 0 y1 1 a2 －3 3 －2 －1 y '0 1 y '1 a3 2 －2 1
1.1 插值问题
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b), * 求任一插值点 x ( x j )处的插值 y * .
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1, n,其中
y1 y0
y
*






x0 x1 x *
xn
节点可视为由 y g ( x)产生, g 表达式复杂, 或无封闭形式, 或未知。
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
-4
-2
0
2
4
6
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
分段线性插值
三次样条插值
1.2 样 条 函 数 的 工程背景
飞机、船体、汽车外形的放样（设计）
模线绘制的一般过程
打点：按给定的数据将型值点准确地点在图板上
描线：用“压子”使“样条”通过型 值点
由于M(x)是线性函数，所以y(x)是三次多项式。
1.3 三次样条函数的数学定义
定义 给定［a,b］的分划：a=x0<x1<…<xn=b, 如果函数s(x)在区
间［a,b］上满足以下条件：