南通市2021届高三第一次调研测试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}26A x x =∈<<N ，{}2log (1)2B x x =-<，A B =A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{}3,4D ．{}3,4,5【答案】C2．已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a = A ．2i - B ．4-C ．212D ．4【答案】B3．哥隆尺是一种特殊的尺子.图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1,2,3,4,5,6.图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】C4．医学家们为了揭示药物在人体呢吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足锤子数学函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0,k k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h ）.经测试发现，当23t =时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为(ln 20.69)≈ A ．3100B ．310C ．103D ．1003【答案】A5．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2n B ．12n -C ．(1)32n n-+D ．(1)32n n--【答案】C6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为【答案】D7．已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-；丙：PA PB PC ==；丁：PA PB PB PC PC PA⋅=⋅=⋅.如果只有一个等式不成立，则该等式为 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】若甲成立，则P 是锤子数学ABC ∆的重心； 若乙成立，则AB AC ⊥； 若丙成立，则P 是ABC ∆外心； 若丁成立，则P 是ABC ∆垂心.甲丙丁至少有两个成立，不论哪两个成立，都可以得到P 是中心.ABC ∆是正三角形，另外一个也成立.∴只有乙不成立..故选：B.8．已知曲线ln y x =在11(,)A x y ，22(,)B x y 两点处的切线分别与曲线e x y =相切于33(,)C x y ，44(,)D x y ，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174【答案】B【解析】依题意有()331131ln 11x x e x x x e ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩，且()442241ln 11x x e x x x e ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩得()()1112221ln 11ln 1x x x x x x -=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩， 记()()1ln 1g x x x x =---，则()1ln 111111ln 1x x x g x x x xx ---⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可知121x x =，得121x x = 则1234121212x x y y x x x x +=+=，故选B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合锤子数学的平面，则 A ．若m α，n α，则mnB ．若m α，m β⊥，则αβ⊥C ．若αβ，m α⊥，n β⊥，则m nD ．若αβ⊥，m α，n β，则m n ⊥【答案】BC10．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则A ．()f x 的最小正周期为πB ．将sin 2y x =的图象上所有点向右平移6π个单位长度，可得到()f x 的图象 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心【答案】ACD11．若函数32,1,()1ln ,1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2,)+∞，则A ．(3)(2)f f >B ．2m ≥C ．ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+【答案】ABD 【解析】()f x 在(,1)-∞，(1,)+∞，A 正确；()f x 的锤子数学值域为[2,)+∞，1122m ∴--++≥，2m ∴≥，B 正确；ln ()x g x x =，21ln ()0xg x x-'==，e x =， ()g x 在(0,e)，(e,)+∞，max 1()(e)eg x g ==，ln 2112e ∴<<，ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 1ln(2)ln(1)log (2)log (1)ln(1)ln m m m m m m m m++++-+=-+2ln ln(2)(ln(1))ln(1)ln m m m m m +-+=+22(ln ln(2))(ln(1))4ln(1)ln m m m m m ++-+<+ 2222(ln(2))(ln(21))04ln(1)ln m m m m m m +-++=<+1log (2)log (1)m m m m +∴+<+，D 正确；故选：ABD.12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为 A ．中位数为3，众数为2 B ．均值小于1，中位数为1 C ．均值为3，众数为4 D ．均值为2【答案】BD【解析】中位数为3，众数为2，则7天数据为1，2，2，3，4，5，6，不能判定，A 错误； 中位数为1，7天,,,,,x y z a b c ，1x y z a b c ≤≤≤≤≤≤，17x y z a b c ++++++<，c y ∴<，可以判定B 正确； 均值为3，7天数据和为21.若7天数据锤子数学为0，1，2，3，4，4，7，不可判定，C 错误； 均值为22，则222222212345671(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)27x x x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 222222123467(2)(2)(2)(2)(2)(2)14x x x x x x -+-+-+-+-+-=其中不可能有6i x ≥，∴可以判定，D 正确. 故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则931log i i a ==∑__________.【答案】914．已知双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，写出双曲线C 的一个标准方程：__________. 【答案】2214y x -=15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，ABC ∆的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =.延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，以此类推得到点2121,,,A B B C 和2C ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4a =，3b =，5c =，则由ABC ∆生成的康威圆的半径为__________. 37【解析】过圆心O 分别作,,AB AC BC 的高，锤子数学垂足分别为,,E D F 则E 为11A B 中点，OE 为ABC ∆内切圆半径.1OE =，26A E =，237OA ∴=【15题拓展】Conway Circle 半径I F ===其中ABC △的半周长2a b cp ++=，ABC △的内切圆半径2s r a b c ==++16．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为__________.【答案】5【解析】法一：由残缺美学拿出三角形P O O 21，则易知21tan =θ，51sin =θ，∴52512=⋅=OH再拿出来：58)52()2(22=-=r πππ5104254022===r l . 法二：暴击法)0,0,2(P ，)22,2,0(-A ，)22,2,0(B ，)2,0,0(0则5221|222|22=+-=d ，则58=r ，πππ5104254022===r l . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .若*n ∀∈N ，24n S λλ<-+（λ为偶数），求λ的值.【解析】（1）设等差数列首项为1a ，公差d等差数列}{n a ，∴d n a a n )1(1-+= 5321+=++n a a n n ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112823221a a a a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++11)2(28)(21111d a d a d a a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==121d a ，∴1+=n a n .（2） 1+=n a n ，∴2111)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和：14332211...111+++++=n n n a a a a a a a a S )2111(...)6151()5141()4131()3121(+-+++-+-+-+-=n n 2121+-=n *∈∀N n ，λλ42+-<n S ，∴*∈∀N n ，λλ421212+-<+-n∴2142≥+-λλ，01822≤+-λλ，∴21442144+≤≤-λ λ为偶数，∴2=λ.18．（12分）在①()()b a c b a c ac +--+=；②cos()sin()A B A B +=-；③tansin 2A BC +=这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ∆，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且a =，__________，__________？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分. 【解析】选①②由22()()()b a c b a c b a c ac +--+⇒--=222122a cb ac +-⇒=， 1cos 2B ∴=，3B π=. 由cos()sin()2,2A B A B A B A B k k ππ+=-⇒++-=+∈Z或2,2A B A B k k ππ-=+++∈Z4A k ππ∴=+或,4B k k ππ=--∈Z ，4A π∴=. 22a =sin sin a bb A B=⇒=故存在，b =.19．（12分）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：（1）物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望()E X.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【解析】（1）2800(300150250100)16010.82855025040040011K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.（2）抽取的男女比例为2:3，故抽取5人中男生2人，女生3人. X的所有可能取值为0，1，233351(0)10C P X C ===，12233563(1)105C C P X C ⋅====， 2123353(2)10C C P X C ===X ∴的分布列如下：1()012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=. 20．（12分）如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF ∆沿直线BF 翻折至A BF '∆，使得平面A BF '⊥平面BCDEF ，O，H 分别为BF 和A C '的中点. （1）证明：OH平面A EF '；（2）求平面A BC '与平面A DE '所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）证明：取A B '中点M ，连接OM ，MH ，OM A F '∴，MHBC又BC EF ，∴MH EF ，∴OM 平面A EF '，MH 平面A EF ' ,OM MH ⊂平面MOH ，OMMH M =，∴平面MOH平面A EF '∴OH平面A EF '（2）平面A BF '⊥平面BCDEF ，平面A BF'平面BCDEF BF =A O BF '⊥，A O '∴⊥平面BCDEF ，又DO BF ⊥如图锤子数学建立空间直角坐标系，设2BC =，1,3A O OD '∴==(0,0,1)A '∴，B，C ，(0,3,0)D，(E(3,0,1)A B '=-，(0,2,0)BC =，(0,3,1)A D'=-，(1,0)DE =--设平面A BC '，平面A DE '的法向量分别为1111(,,)n x y z =，2222(,,)n x yz =11111100200n A B z n y n BC ⎧'⋅=-=⎪∴⇒⇒=⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩2222222300(00y z n A D n y n DE ⎧-='⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ 设平面A BC '与平面A DE '所成角为θ，12,n n 所成角为ϕ1212cos cos 312n n n n θϕ⋅∴====⨯⋅. 21．（12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--. （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <. 【解析】（1）2min 2ln ()0x f x a x x ⎛⎫≥⇒≤- ⎪⎝⎭令22ln ()xF x x x=-，32222ln 2(ln 1)()2x x x F x x x x -+-'=-= 令3()ln 1x x x ϕ=+-，显然()x ϕ在(0,)+∞上，注意到(1)0ϕ= 当01x <<时，()0x ϕ<，()0F x '<，()F x ；当1x >时，()0x ϕ>，()0F x '>，()Fxmin ()(1)1F x F ∴==，1a ∴≤，即锤子数学实数a 的取值范围为(,1]-∞（2）由（1）知()f x 在(0,1)上，(1,)+∞上要使()f x 有两个零点，则min ()(1)101f x f a a ==-<⇒> 此时1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞要证121x x <，只需证211x x <⇔证211()f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭，即证111()f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭令2212ln 1()()2ln x g x f x f x x x x x x ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭ 1112ln x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令1()2ln ,(0,1)h x x x x x=--∈222221221(1)()10x x x h x x x x x-+-'=+-==> ()h x ∴在(0,1)上，()(1)0h x h <=，1()0f x f x ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，(0,1)x ∈111()f x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，证毕！22．（12分）已知点,A B 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且OA AB ⊥.（1）若a =1b =，直线OA 的方程为30x y -=，求直线OB 的斜率；（2）若OAB ∆是等腰三角形（点,,O A B 按顺时针排列），求ba的最大值.【解析】（1）3ABk =-，223321132x y x x y y ⎧=⎧=⎪⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎪⎩，31,22A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭AB 方程为3133522y x y x ⎛⎫=--+⇒=-+ ⎪⎝⎭2222353(53)3(23)(712)033y x x x x x x y =-+⎧⇒+-=⇒--=⎨+=⎩127B x ⇒= 121,77B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，112OB k =-.（2）设直线OA 的方程为(0)y kx k =>，222222y kxb x a y a b =⎧⎨+=⎩ 222222A a k ba kb ⎛⎫∴++ 过A 作AM y ⊥轴于点M ，过B 作BN MA ⊥交其延长线于点N222222B a k b a k b ⎛⎫∴++，B 在椭圆上 2222222222222222(1)(1)a b k a b k b a a b a k b a k b+-∴⋅+⋅=++ 22222222222222222(1)(1)1(12)(21)b k a k b k k a k k a k b a k b a k b+-+=⇒+++-+=+++ 222(2)(21)b k k a k ∴+=-22221,02b k k a k k-=>+，令21k m -=，只需考虑0m >的情形 2222445656251612b m m a m m m m m m ∴===≤++++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭51251b a -∴≤=+.。