高三第一次质量检测 数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1 若复数，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A 6B －6C 5D －4 2 函数的图像大致是3． m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ; ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α⊂n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④4．设函数()3)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其 图象关于直线0x =对称，则 （ ） A.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B.()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数C.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 D.()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数5．如右图,若程序框图输出的S 是126,则判断框①中应为 （ ）A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n6．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0,1]x ∈时，(),f x x =则方程3()log ||f x x =的解个数是 （ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．若{}n a 是等差数列，首项公差0d <，10a >，且201320122013()0a a a +>,则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 （ ）A ．4027B ．4026C ．4025D ．40248．已知00(,)M x y 为圆222(0)x y a a +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y a +=与该圆的位置关系是 （ ） A 、相切 B 、相交 C 、相离 D 、相切或相交 9．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明11111111...2(...)2341242n n n n-+-++=++++++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n =（ ）时等式成立（ ）A ．1n k =+B ．2n k =+C ．22n k =+D ．2(2)n k =+10. 已知向量α、β、γ满足||1α=，||||αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=．若对每一确定的β,||γ的最大值和最小值分别为m 、n ，则对任意β，m n -的最小值是 （ ）A ．12B ．1C ．2D第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射 疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射 了疫苗的鸡的数量平均为 万只．3主视图 俯视图侧视图12.二项式1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中的第________项是常数项．13．一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边长为3cm 的矩形,左视图是一个边长为2cm 的等边三角形,则这个几何体的体积为________．14.已知z=2x +y ，x ，y 满足,2,,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 ．15．给出如下四个结论：① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；② 命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③ 若随机变量~(3,4)N ζ，且(23)(2)P a P a ζζ<-=>+，则3a =；④ 过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有2条． 其中正确结论的序号是______________________________．三、解答题：本大题共共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M . （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知函数()e x f x tx =+（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当e t =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围． 18．（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小．19.（本小题满分12分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。

规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。

已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是32，且每题正确完成与否互不影响。

（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．20.（本小题满分13分）已知(1,0)F , P 是平面上一动点, P 到直线:1l x =-上的射影为点N ，且满足1()02PN NF NF +•= （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程; （Ⅱ）过点(1,2)M 作曲线C 的两条弦,MA MB , 设,MA MB 所在直线的斜率分别为12k k ,, 当12k k ,变化且满足121k k +=-时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标．21. （本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足：232121...2nn a a a a n n λλλ-++++=+（其中常数*0,n N λ>∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：当4λ=时，数列{}n a 中的任何三项都不可能成等比数列；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和．求证：若任意*n N ∈，(1)3n n S a λλ-+≥参考答案一、ACABB CDCB A二、11,90；12，九；13，3；14，14；15，②④16.解：（Ⅰ）由11()2(1cos 2)sin(2)2262f x x x m x m π=-++=-+-……… 3分 因为点(,0)12M π在函数()f x 的图象上，所以1sin(2)01262m ππ⋅-+-= 解得：12m = ……………………5分（Ⅱ）因为2ccos B bcosC acos B +=，所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=所以sin()2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B = 又因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠,所以1cos 2B = …………………… 9分 又因为(0,)B π∈，所以2,33B AC ππ=+=所以270,23666A A ππππ<<-<-<，所以1sin(2),162A π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦所以()f A 的取值范围是1,12⎛⎤-⎥⎝⎦……………………12分 17．解：（Ⅰ）当e t =-时，()e e x f x x =-，()e e x f x '=-． 由()e e >0x f x '=-，解得1x >；()e e <0x f x '=-，解得1x <．∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞． ……………… 5分（Ⅱ）依题意：对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，即e 0xtx +>即e xt x>-在(0,2]x ∈上恒成立．令e ()x g x x =-，∴2(1)e ()xx g x x -'=．当01x <<时，()0g x '>；当12x <<时，()0g x '<． ∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减．所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)e g =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值．∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞． …………………… 12分18．解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF ． 又∵AC=AD ，F 为CD 中点，∴AF ⊥CD ，因CD ∩DE=D ，∴AF ⊥平面CDE. ……………… 4分（Ⅱ）取CE 的中点Q ，连接FQ ，因为F 为CD 的中点，则FQ ∥DE ，故DE ⊥平面ACD ，∴FQ ⊥平面ACD ，又由（Ⅰ）可知FD ，FQ ，FA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图坐标系， 则F （0，0，0），C （1-，0，0），A （0，0，3），B （0，1，3），E （1，2，0）．(1,1,3),(2,2,0)CB CE == ………………6分设面BCE 的法向量(,,)n x y z =，则0,0,n CB n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30,220,x y z x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩取(1,1,0)n =-．又平面ACD 的一个法向量为(0,1,0)FQ =，∴ 0102cos ,||||2FQ n FQ n FQ n ⋅-+<>===．∴面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小为45°．19，解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别,0、1、2、3，122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P P P C C C ξξξ========= 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：ξ 1 23P15 35 15131()1232555E ξ=⋅+⋅+⋅= ………………5分因为2~(3,)3B η,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：η0 1 2 3P127 627 1227 827 16128()0123227272727E η=⋅+⋅+⋅+⋅= ………………8分（Ⅱ）因为31412820(2),(2)555272727P P ξη≥=+=≥=+= 所以(2)(2)P P ξη≥>≥ ………………10分从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。