2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷)
一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分)
1.已知=++=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+)(,31122x f x x x x f 则 ____________.
2.设)(0x f '存在,则()()
=--+→h
h x f h x f h 000
lim
____________.
3.设)(x f 的原函数为
x
x
ln ,则()='⎰dx x f ____________. 4.向量{}4,3,4-=a
在向量{}1,2,2=b 上的投影是____________.
5. )1(1
)(+=
x x
x f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()2
1
0=
'x f ，当0→∆x 时，()x f 在0x 处的微分dy 与x ∆比较是（ ）无穷小.
(A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶
2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（ ）.
3,0,1)
(3
,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上)
( 0,1,3)
(D c b a C =-==
3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（ ）.
[][]0)()()(0)()()(5
55
5=--
=-+⎰⎰--dx x f x f B dx x f x f A
[][]0)()()
(0
)()()
(5
5
0=--
=-+
⎰⎰dx x f x f D dx x f x f C
4. 设直线L 为
1
2241z
y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ). 上；在；平行于ππL L A )
B ()
(.(D)
;)(斜交与垂直于ππL L C
5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根.
(C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;
三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分)
1. .,1
ln 2sec 22dx dy e e y x x
x
求+-=
2．设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求d y .
3．求3
20
)21ln(lim
x
dt
t x
x ⎰
+→.
4. 求由参数方程()
⎩⎨⎧=+=t y t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶导数.22dx y
d
四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1.dx x x ⎰-2
1
ln . 2.⎰-dx x
x 4
2 . 3.()
.ln 11 1
2
dx x x e
⎰
-
五、(7分)设,ln 1)(,1x x
x f b a +=
<<求证：)(41
)()(0a b a f b f -≤-<.
六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11
:1
垂直相交,求L 的方程.
七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .
(1) 求D 的面积A .
(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .
2006-2007学年第一学期 高等数学（A1）试题(A 卷)答案
一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1．1)(2+=x x f ； 2. )(20x f '; 3.
C x
x
+-2
ln 1; 4. 2; 5.[]
之间与介于1,)1()1()1()1()1(1112
12-+-++++++++-=+++x x x x x x n n n n
ξξ
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1. B 2. A 3. B 4. C 5. D
三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分)
1. 解：()
'⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-'='1ln 2sec 22x
x x e e y 2分 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=122212tan 2sec 2ln 222x
x x
x
x
e e 6分 1
1
2tan 2sec 2ln 22+-
=x
x x x e 7分 2. 解：[]1)ln()(2+--=-y x dy dx dx dy 5分 ()()
dx y x y x dy -+-+=
ln 3ln 2 7分 3. 解：2
203
20
3)
21ln(lim )21ln(lim
x x x dt
t x x x +=+→→⎰ 4分 ⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+==→→x
x x x x x x 6214lim
32lim 2022
032= 7分 4. 解： t t t t dx dy 211211
2
2=++= 4分
32
2
2
224112121
t t t t t
dx y d +-=+⋅-= 7分
四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1. 解：⎰⎰
+--=-dx x x x dx x x 221
1ln 1ln 4分 C x
x
C x x x +-=+---
=ln 11ln 7分 2. 解：⎰⎰
=-tdt dx x
x 22tan 24
3分 C t t dt t +-=-=⎰2tan 2)1(sec 22 6分
C x
x +--=2
arccos
2422 7分 3. 解：()
()
x d x dx x x e e
ln ln 11lim ln 11 1
2
1
2
⎰
⎰
-→-=-+ε
ε 4分
()[]2
ln arcsin lim 10
π
ε
ε=
=-→+
e x 7分
五、(7分)设,ln 1)(,1x x
x f b a +=<<求证：)(41
)()(0a b a f b f -≤-<.
证明：由拉格朗日中值定理
()01
)()(2
>--=
-a b a f b f ξξ 3分 记)1(1
)(2
>-=
x x x x g 4分 ⎪
⎩⎪
⎨⎧><==<<>-='2
0,2
,021
,02)(3x x x x x x g 5分 因此2=x 是)(x g 在),1(+∞内的最大值点，且4
1
)2()(=
≤g x g ，于是 )(4
1
)()(0a b a f b f -≤
-< 7分
六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1
垂直相交,求L 的方程.
解：直线L 的方向向量为k i k
j i s
221
11111-=-= 3分
将L 1代入平面方程得：1-=t ，π与1L 的交点坐标为（0，2，-1） 5分 直线L 的方程为：
11021-+=-=z y x 或⎩
⎨⎧==+++201y z y x 7分 七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .
(1) 求D 的面积A .
(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .
解：设切点的坐标为：()00,y x
切线的方程为：)(1
00
0x x x y y -=
- 1分 由于切线过原点得切点坐标为：()1,e 2分 切线的方程为：e
x y =
（1）()12
ln 2ln 21 1 -=--=-=
⎰e x x x e xdx e D e
e 4分 （2）()
2
2 65 3121 0 22
πππππ+-=--=⎰e e dy e e e V y 7分。