2-浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）2020届第一次联考 数学试题卷 选择题部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1、已知集合()(){}
310A x x x =-+>，{}
11B x x =->，则()R C A B =
A.[)
(]1,02,3- B.(]2,3 C.()(),02,-∞+∞ D.()()1,02,3-
2、已知双曲线22
:193
x y C -=，则
C 的离心率为
2 3、已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若,,a b αβαβ⊥⊥∥，则下列命题中正确的是 A.b α⊥ B.b α∥ C.αβ⊥ D.αβ∥
4、已知实数,x y 满足()3121
x x y y x ⎧≤⎪
+≥⎨⎪≤-⎩
，则2x y +的最大值为
A.11
B.10
C.6
D.4
5、已知圆C 的方程为()2
231x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆 C 有公共点，则A 的纵坐标可以是
A.1
B.-3
C.5
D.-7 6、已知函数()2
21,0
log ,0x x f x x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是
A.(][),42,-∞-+∞
B.[]1,2-
C.[)(]4,00,2-
D.[]4,2-
7、已知函数()()ln cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象
D
第12题图
8、在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点， 1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE '∆，使得点A '在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角 A BE C '--的大小为θ，直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分 别为αβ，，则
A.βαθ<<
B.βθα<<
C.αθβ<<
D.αβθ<<
9、已知函数()()2,R f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一
个零点属于区间[]0,2”的一个（ ）条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.既不充分也不必要 10、已知数列{}n a 满足：11
02
a <<
，()1ln 2n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a <<
B.2019112a <<
C.2019312a <<
D.20193
22
a << 非选择题部分
一、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分。

11、复数()
2
11i z i
-=
+（i 为虚数单位），则z 的虚部为 ；
z = .
12、某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），
则该几何体的体积为 3cm ，表面积为 2cm . 13、若()()7
280128221x x a a x a x a x +-=+++
+，则
0a = ；2a = .
14、在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上， 36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则=BE ； cos CED ∠= .
15、某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻，体育
不能排在第一节，则不同的排法总数是 .（用数字作答）.
16、已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF BF 得斜率
分别为12,k k ，则
2
221
11
k k -= . 17、已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记31
44
c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值
时，a b -的值为 .
1
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18、（本小题满分14分）已知函数()2cos cos f x x x x =. （1）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）若13210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,3πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求cos α的值.
19、（本题满分15分）在三棱锥111ABC A B C -中，底面ABC ∆且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒,平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点. （1）求证：1BB CM ⊥；
（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值.
20、（本题满分15分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且5365,a S a ==.数
列{}n b 满足()1122222n n n a b a b a b n b ++
+=-+.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令*,n
n n
a c n N
b =∈，证明：122n
c c c +++<.
21、（本题满分15分）已知抛物线24x y =，F 为其焦点，
椭圆
()2
2
2210x y
a b a b
+=>>，
12,F F 为其左右焦点， 离心率1
2
e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q PQ . （1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 交x 轴为K ，,KED FOD ∆∆的面积分别记为1,S S 若1218
49
S S =
，且点A 在第一象限.求点A 的坐标
22、（本题满分15分）设a 为实常数，函数()2f x ax =，()x g x e =，R x ∈. （1）当1
2a e
=
时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设*m N ∈，不等式()()2f x g x m +≤的解集为A ，不等式()()2f x g x m +≤的解集为B ， 当(]0,1a ∈时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立.若存在，试找出所有的m ； 若不存在，请说明理由.。