3 3+5 3 22
= 10 .
22
3 12 + 3 + 25 5
则 BM 与平面 B1MC 所成角的正弦值为
10 . 5
方法三：不妨设 AB = 2 ，设所求线面角为 ，
...................2 分
BM ⊥ AA1 / /BB1 ，BM = 22 −12 = 3, B1M = 3 + 22 = 7 ，
18．解：（1） f (x) = cos2 x +
3 sin x cos x = 1 + cos 2x + 2
3 2
sin
2x
=
1 2
+
sin
2x
+
6
……4
分
f
()
=Байду номын сангаас
1 +sin( 2
+
)
=
1
+ sin 5
=
1
+
1
= 1 …………3
分
32
36 2
6 22
（2）由
f
( 2
)
=
13 10
,
(0, 3
，在直线 l 方程中令
y
= 0 得 xD
=
x0 2
，
FD 2 = 1 + ( x0 )2 = 4 + x0 2
2
4
DK
=
x0 2
−
x03 8(x02 + 3)
=
3x0 8(
(x02 + 4) x02 + 3)
,
k
FD
=
−
2 x0
, kBC
=
x0 2
, kFD
kBC
=
−1, FD
⊥
BC ，........2
2e
e
…………………………1 分
h(x) 在 R 上单调递增，且 h(−1) = 0 ，
h(x) 在 (−, −1) 上负，在 (−1, +) 上正，
……………………………2 分
故 h(x) 在 (−, −1) 上单调递减，在 (−1, +) 上单调递增.
………………………2 分
（2）方法一：设 F (x) = f (2x) + g(x) = 4ax2 + ex ， G(x) = f (x) + g(2x) = ax2 + e2x
...........5 分
（2）设
A
(x0 ,
x02 4
)
，则切线 l
的方程为
y
=
x0 2
x
−
x02 4
，
代入椭圆方程得： (3 +
x02 )x2
−
x03 x
+
x04 4
− 12
=
0,
........2 分
设 B(x1, y 1),C(x2 , y2 ), E(x3, y3 ) ，则 x3
=
x1
+ x2 2
又 对 于 任 意 m N* ， 存 在 x ln m 使 得 F(x) m ， 又 lim F (x) → + ， 且 有 x→−
F(x0 ) F(0) = 1 m ，
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由零点存在定理知存在 x1 0 x2 ，使得 F(x1) = F(x2 ) = m ，
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21．解：（1）不妨设 P 在第一象限，由题可知 P(2 6 ,1) 3
8 + 1 = 1 ，又 e = 1 ， 8 + 1 = 1
3a2 b2
2
12c2 3c2
可得 c = 1，椭圆的方程为 x2 + y2 = 1 . 43
=
2(
x03 x02 +
3)
,
y3
=
x0 2
x3
−
x02 4
= − 3x02 4(x02 + 3)
，
KE
的方程为
y
+
3x02 4(x02 + 3)
=
−
2 x0
[x
−
2(
x03 x02 +
3)
],即y=
−
2 x0
x
+
x02 4(x02 + 3)
，
........2 分
令
y
= 0 得 xK
=
x03 8(x02 + 3)
BG⊥MB1 且 BC∩BG=B，所以 MB1⊥平面 BCG. 又因为 MB1 平面 CMB1，
所以平面 CMB1 ⊥平面 BCG,又平面 CMB1 ∩平面 BCG=CG, 作 BH⊥CG 于点 H，则 BH⊥平面 CMB1，则∠BMH 即为所求线面角.
............4 分
设 AB=BC=2，由已知得 BB1=2，BM= 3 ，BG= 2 21 ，BH= 30
BC ⊥ BM ，CM = 22 + 3 = 7 ， BC ⊥ BB1 ，CB1 = 22 + 22 = 2 2 ，
1
SB1MC
=
2 2
2
7−2 =
10 ，设点 B 到平面 B1MC 的距离为 h ，
则三棱锥 B − B1MC 的体积为VB−B1CM
=
1 3
h
SB1CM
=
10 h . 3
...........3 分
，即
BM
与平面 B1MC
所成角的正弦值为
10 . 5
...........2 分
20．解：（1）设等差数列{an} 的公差为 d ， ∴ 3a1a1++43dd==5a1 + 5d ，
解得
ad1
=1 =1
，∴数列
{an
}
的通项公式为
an
=
n.
b1 + 2b2 + nbn = (2n − 2)bn + 2 ，
Z20 联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2020 届第一次联考
数学参考答案
一、选择题 1．A 2．C 二、填空题
3．C
4．B 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．B
11． −1 ； 2
15． 60 三、解答题
12． 23 ； 23 3
16．1
13． −2 ； −154 17． 4
14． 3 2 + 6 ； 2 2
.................2 分 .................1 分
又∵ BM ∩BC=B，∴BB1⊥平面 BMC
∴ BB1⊥MC.
.................2 分
（2）方法一：作 BG⊥MB1 于 G，连结 CG. 由（1）知 BC ⊥ 平面AA1B1B ，得到 BC⊥MB1，又
又 BM ⊥ BB1, BM ⊥ BC ， BM ⊥ 平面 CB1B ，即 BM 是三棱锥 M − B1MB 的高
1
VM −B1CB
=
BM 3
SB1CB
=
3 3 2 = VB−B1CM =
10 h ，可得 h = 2 3 ，
3
10
...........3 分
sin = h = BM
2= 10
10 5
令
P(t)
=t
− 1 − 2ln t t
，则 P(t)
=
(t
− 1)2 t2
0
当 t 1 时， P(t) P(1) = 0 .
……………2 分 ……………1 分
在上式中令 t
x
= e2
，可得当
x
x
0 时，有 e2
−x
−e 2
x
成立， e2 x
− ex
3x
xe 2
令 Q(t) = et − 2t ，则 Q(t) = et − 2 ，Q(t) Q(ln 2) = 2 − 2ln 2 0 ，ex 2x 恒成立，
=
1 21
+
2 22
+
+
n 2n
，
则 2S
=1+
2 21
+
3 22
+
+
n 2n−1
，
11
1n
n+2
S = 2S − S =1+ + + 21 22
+ 2n−1 − 2n = 2 − 2n 2 .
............4 分
.............4 分 .............3 分 .............4 分
当 x 0 时， F(x) − G(x) = H (2x) − H (x) 0
又 m 1 ， x3 和 x1 均在各自极值点左侧， 结合 F (x) 单调性可知 F(x1) = m = G(x3 ) F (x3 ) x3 x1 0 . 当 m = 1时， x2 = x4 = 0 ， A B 成立，故 m = 1符合题意. 当 x 0 时， F (x) − G(x) = 3ax2 + ex − e2x 3x2 + ex − e2x ，
平面ABC 平面AA1B1B = AB ， BC 平面ABC ，
BC ⊥ 平面AA1B1B ， BC ⊥ B1B .