ΣFx = 0, Fmax cos α − P sin α − F2 max = 0
ΣFy = 0, FN 2 − P cos α − Fmax sin α = 0
F2max = fs • FN2
解得：
Fmax =
sin α + f s cos α P cos α − f s sin α
所以，要维持物体平衡时，力F的值应满足的条件是
工程力学课件
二、自锁现象 由摩擦角的性质可知：如果作用于物体的 主动力的合力F的作用线在摩擦角之内(图a)， 即φ≤φf，则无论这个力怎样大，总有一个全 反力FR与之平衡，物体保持静止。 反之，如果主动力的合力F的作用线在摩 擦角之外(图b)，即φ>φf ，则无论这个力怎样 小，物体也不可能保持平衡。 这种与力的大小无关而与摩擦角(或摩擦 因数)有关的平衡条件称为自锁条件 自锁条件。物体 自锁条件 在这种条件下的平衡现象称为自锁现象。 自锁现象。 自锁现象
ΣFx = 0, F cos α − FS = 0
解得：
FS = F cos α = 100 N ×
3 = 86.7 N 2
所以，此时摩擦力的大小为
FS = 86.7 N
工程力学课件 为求拉动此物体所需最小力Fmin。需要考虑物体将要滑动但还没有滑动 的临界平衡情况，此时摩擦力达到最大值，即
Fmax = fs • FN
按图c列平衡方程
ΣFx = 0, Fmin cos α − Fmax = 0
ΣFy = 0, Fmin sin α + FN − W = 0
由式（b)可得
（a） （b）
FN = W − Fmin sin α
所以 F ax = fs (W − F in sin α) m m 代入式（a)可得 所以 Fmin =
工程力学课件
由图b可知：
Fmax fs FN tan ϕ f = = = fs FN FN
tanϕ f = fs
上式表明：摩擦角φf的正切等于静摩擦因数。 可见摩擦角与摩擦因数都是表示材料的表面性 质的量。 由于静摩擦力Fs的大小不能超过最大静摩擦 力Fmax，因此支承面全反力FR的作用线与接触面 法线的夹角α也不可能大于摩擦角φf，即支承面 的全反力FR的作用线必定在摩擦角内。当物体 处于将动未动的临界平衡状态时，全反力FR的 作用线在摩擦角的边缘。
ΣFx = 0, Fmax − W sin α = 0
ΣFy = 0, FN − W cos α = 0
解得：
tan α = fs
Fmax = fs • FN
所以：
α = arctan fs
(3)分析讨论 倾角α仅仅与摩擦因数fs有关，而与被测试物体的重量无关。利用这种 方法还可以测定摩擦因数fs
工程力学课件 例5-3 如图a所示，当斜面的倾斜角α大于某一值时，物体将向下运动。此 时如在物体上加有水平力F，则能使物体在斜面上维持平衡，试求力F的值 的范围。 解：如果力F太小，物体将向下滑动；但如力 F太大，又将使物体向上滑动。 首先求出使物体不致下滑时所需的力F的最小 值Fmin。由于物体有向下滑动的趋势，所以摩擦 力应沿斜面向上。物体的受力图如图b所示。 设物体处于临界平衡状态，于是根据平衡方 程和静滑动摩擦定律可列出：
ΣM o = 0, M − Fmax • r = 0
Fmax = fs • FN
解得：
Fmax
M = r
FN =
M fs r
工程力学课件 其次，以制动杆AB为研究对象，分 析受力情况，画出它的受力图如图c所 示。因为制动杆平衡，同样由平衡方程 可列出：
′ ′ ΣM A = 0, FN ⋅ a − Fmax ⋅ e − Fmin ⋅ l = 0
工程力学课件
§5-2 滑动摩擦
一、静滑动摩擦定律 当两个相互接触物体间有相对滑动 或者相对滑动的趋势时，在接触面之间 就产生了彼此阻碍运动的力，这种阻力 称为滑动摩擦力 滑动摩擦力。 滑动摩擦力 在主动力作用下，当上述相互接触的 物体具有相对滑动的趋势，但仍处于平 衡状态时，接触面间的滑动摩檫力称为 静摩擦力，记作FS。 静滑动摩檫力 ，简称静摩擦力 静摩擦力 根据平衡方程可知：
工程力学课件
§5-1 工程中的摩擦问题
利用摩擦进 行工作的实例
由摩擦产生阻力，消耗 能量、降低效率的实例
研究摩擦的目的就是要掌握摩擦的规律，以便充分利用 其有利的一面，尽可能地克服其不利的一面。
工程力学课件
摩擦的分类： 静滑动摩擦 滑动摩擦 摩擦 滚动摩擦 本章主要讨论滑动摩擦中的静滑动摩擦，关于滚动摩擦只介 绍基本概念。 动滑动摩擦
Fmin cos α − f sW + f s Fmin sin α = 0
f sW 0.2 × 500 N = = 103 N o o cos α + f s sin α cos 30 + 0.2 sin 30 这就是拉动物体的最小拉力
工程力学课件 例5- 2 在一个可调整倾角的斜面上放一物体重为W，接触面间的摩擦因数为 fs，试求物体刚开始下滑时斜面的倾角α。 解： (1)选物体为研究对象，受力图 如图所示。 (2)列平衡方程、求未知量 根据题意此时物体处于临界平衡状 态，摩擦力应为Fmax。选坐标轴如图所 示，写出平衡方程：
工程力学课件
工程力学课件
第五章 摩擦
前几章我们把物体的接触表面都看作是绝对光滑的，忽略了 物体之间的摩擦。但是，完全光滑的表面事实上并不存在，接 触处多少有点摩擦，有时摩擦还起着主要作用，因此，对摩擦 必须予以考虑。本章研究一下考虑摩擦时的物体平衡问题。 本章重点： 1、有关摩擦的基本理论 2、具有摩擦的平衡问题的分析方法 3、摩擦角与自锁现象的概念 4、滚动摩擦的概念
FA = f s ⋅ FNA FB = f s ⋅ FNB
工程力学课件 (2)列平衡方程，求未知量选坐标轴Oxy。列平衡方程： ΣFx = 0, FNA − FNB = 0
FA = f s ⋅ FNA FB = f s ⋅ FNB
ΣFy = 0, F − FA − FB = 0
ΣM o ( F ) = 0 F ⋅ a − FNB ⋅ b − FB ⋅ d d + FA ⋅ = 0 2 2 b a= 联立以上各式可解得 2 fs
要保证机构不致被卡住，必须使 b a≤ 2 fs (3)分析讨论从解得的结果中可以看到，机构不至于被卡住，不仅 与尺寸a有关，还与尺寸b有关，如b太小，也容易被卡住。 通过本例题的讨论可知，在工程上遇到像顶杆在导轨中滑动、滑块 在滑道中滑动等情况，都要注意是否会被卡住的问题。
工程力学课件
§5-4 摩擦角与自锁现象
工程力学课件
由上述可见：静摩擦力随着主动力的 不同而改变，它的大小由平衡方程确定， 但介于零和最大值之间，即
0 ≤ FS ≤ Fmax
静摩擦力的方向与两物体间相对滑动 趋势的方向相反。 注意：当静摩擦力未达到最大值时，即 平衡未达到临界状态时，不存在以下关系
F = fs • FN
工程力学课件
二、动滑动摩擦定律 当F超过Fmax时，物体间有了相对滑动， 亦即有了相对速度，这时接触面间的滑动 动滑动摩擦力，简称动摩擦力 动摩擦力， 摩擦力称为动滑动摩擦力 动滑动摩擦力 动摩擦力 记作F′ 一般地，动摩擦力F′小于最大静摩擦力 Fmax,并可以看成一个常值。动摩擦力的方向 沿接触面的切向，与相对滑动的方向相反。 实验表明：
sin α − f s cos α sin α + f s cos α P≤F ≤ P cos α + f s sin α cos α − f s sin α
这就是所求的平衡范围。
工程力学课件 例5-4 图a为小型起重机中的制动器。已知制动器摩擦块与滑轮表面间的摩擦 因数为fs，作用在滑轮上的力偶其力偶矩为M，A和O都是铰链。几何尺寸如 图所示。求制动滑轮所必需的最小力Fmin 解：当滑轮刚能停止转动时，力F的 值最小，制动块与滑轮的摩擦力达到最 大值。以滑轮O为研究对象，分析受力 情况，画出它的受力图如图b所示。因 为滑轮平衡，故由平衡方程和滑动摩擦 定律可列出：
0 ≤ FS ≤ Fmax
因此，物体的平衡也具有一定的范围，即在问题的答案中有一定 的范围。 3、在解题过程中，当物体处于临界状态和求未知量的平衡范围时， 除了列出平衡方程外，还要列出摩擦关系式：
Fmax = fs • FN
工程力学课件 例5-l 用绳拉一重W=500 N的物体，拉力F=100 N，物体与地面间的摩擦因 数fs=0.2，绳与水平面的夹角α=30° 试求： (1)当物体处于平衡状态时，摩擦力FS的大小 (2)如使物体产生滑动，求拉动此物体所需的最小力Fmin 解： (1) 取物体为研究对象，受力图如图b所示，FS为摩擦力，因为物体相对 于地面有向右的滑动趋势，所以摩擦力FS的方向向左，FN为法向反力。 (2)列平衡方程，求未知量 首先求摩擦力FS,选坐标系Oxy，写出平衡方程
一、摩擦角的概念。 摩擦角的概念。 水平面上一物体(图a)，作用于物体上的主 动力为F，如考虑摩擦时，支承面对物体的 作用力不仅有法向反力FN，同时还有摩擦力 Fs。法向反力FN与摩擦力Fs的合力FR称为支 承面对物体的全反力 全反力。 全反力 全反力FR与法向反力FN之间的夹角α将随 着摩擦力Fs的增大而增大，当物体处于将动 未动的临界状态时，即摩擦力Fs达到最大值 Fmax时，这时夹角α也达到最大值φf，把φf称 为摩擦角。 为摩擦角
∑F = 0
F − FS = 0 FS = F
两力反向，等值
工程力学课件
F增大，FS也随之增大，当F增大到某 一数值时，物体将不能保持平衡而开始 滑动，可见静摩擦力增大到这个数值后 就不能再增加，也就是说静摩擦力FS 有 一个极限值，这个极限的静摩擦力，称 作最大静摩擦力 最大静摩擦力，记作Fmax。 最大静摩擦力 摩擦力等于最大静摩擦力时的物体平 衡状态，称为临界平衡状态 临界平衡状态。 临界平衡状态 试验证明： F ax = fs • FN m 上式称为静滑动摩擦定律。 静滑动摩擦因数(简称静 上式称为静滑动摩擦定律。 fs称为静滑动摩擦因数 简称静 静滑动摩擦因数 摩擦因数)， fs的大小与接触物体的材料、接触面的粗糙程度、 摩擦因数 温度、湿度等情况有关，而与接触面积的大小无关。一般材 料的， fs值可在机械工程手册中查到。