4） e2tu (−t) + e3tu (−t)
5） te−2 t
6） 5e−0.3tu(t − 2)
8） te−2t u (t )
10） e−2tu (t + 1)
12）δ (3t) + u (3t)
14）
x
(t
)=1 0来自0≤t ≤1 other
答
5） (t2 + 1)u(t − 1)
7） t e2tu (−t )
解：
y(t) = 4(e−t − e−2t )u(t)
5-2-16 已知 LTI 系统的输入信号 x(t) 的拉普拉斯变换 X (s) = s + 2 , x(t) = 0 ， (t > 0)， s−2
系统输出 y(t) = − 2 e2tu(−t) + 1 e−tu(t) 。
3
3
1）求系统函数 H (s) ，并确定其收敛域；
<
−2
= 9） F (s)
s2 − s +1
(s + 1)2
,σ
>
−1
7
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案
10） F (s)= 1 − e−2s s s +1
f (t) = u(t) − e−(t−2)u(t − 2)
11）
F(s)
=
s2e−2s + e−3s s(s2 + 3s + 2)
11
第五章 拉普拉斯变换 解：
第 5 章 习题参考答案
5-2-9 某一 LTI 系统的系统函数 H ( s) 的零、极点分布如题图 5-2-1 所示：
Im
-2 -1
Re
12
题图 5-2-1 1） 指出与该系统零、极点图有关的所有可能的 ROC； 2）对于 1）中所确定的每个 ROC，讨论有关的系统是否稳定和因果的。 解：
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案 第 5 章 习题参考答案
5-1 思考题 答案暂略
5-1 练习题
5-2-1 确定下列时间函数的拉普拉斯变换和收敛域，画出零、极点图：
1） u(2t − 1)
2） e−2tu (t ) + e−3tu (t )
3） e−4tu (t) + e−5t (sin 5t) u (t)
1 2
jπ
e 4；
∫ 4） ∞ x (t ) dt = 4 −∞
试确定 X ( s) ，并给出其收敛域。
解
5-2-6 设信号 x(t) 和 y(t) 是两个连续右边时间，它们满足下面的两个微分方程：
dx(t) = −2 y (t ) + δ (t )
dt
和
dy(t) = 2x(t) dt
10
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案
3） e−4tu (t) + e−5t (sin 5t) u (t)
4） e2tu (−t) + e3tu (−t)
5） te−2 t
2
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案
5） (t2 + 1)u(t − 1)
F= (s)
2e−s

1 s3
+
1 s2
+
1 s
式中 x1 (t ) = e−2tu (t ) ，并且 x2 (t ) = e−3tu (t ) 。试求出系统输出 y (t ) 的拉普拉斯变换 Y ( s) 。
解：
5-2-8 已知 H (s) =
2s(s + 1)
,试求出它的零、极点，并作图。
(s + 3)(s 2 + 4)(s 2 + 4s + 5)
<σ
<
−3
= 7） F (s)
(s + 1)2
s2 − s +1
,σ
>
1 2
= 9） F (s)
s2 − s +1
(s + 1)2
,σ
>
−1
= 8） F (s)
s2
s +1 + 5s +
6
, −3 <
σ
<
−2
10） F (s)= 1 − e−2s s s +1
11） F (s) = s2e−2s + e−3s s(s2 + 3s + 2)
5-2-15 某 一 因 果 LTI 系 统 ， 已 知 其 输 出 的 拉 普 拉 斯 变 换 为 ：
Y (s) = F1 (s)H1 (s) + F2 (s)H 2 (s) 。又已知当 t > 0 时有，该系统有以下性质： 1） f1 (t) = 0 ； 2）当输入 f 2 (t) = (e−t + 2e−2t )u(t) 时，输出响应为 y(t) = (e−t + 5e−2t )u(t) ； 3）当输入 f 2 (t) = (2e−t + e−2t )u(t) 时，输出响应为 y(t) = (5e−t + e−2t )u(t) ；
,σ
>
0
14） F (s) = 1 − e−2s s(s + 3)
[ ] f (t) = 1 [u(t) − u(t − 2)]− 1 e−3t u(t) − e6u(t − 2)
3
3
8
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案
5-2-3 已 知 信 号 x(t) 的 拉 普 拉 斯 变 换 为= X (s) 1 ,σ > −1 ， 试 求 出 卷 积 信 号 s +1
第 5 章 习题参考答案
4）
X
(s)
=
1− e−2s s(s2 + 4)
f (t) 的初值 f (0+ ) = 0；终值 f (∞) =不存在
5-2-13
系统函数为
H (s)
的应果系统，其中
H (s)
=
s3 + 2s2 + 2s +1 s 2 + 12s + 1
，当激励
f (t) = e−tu(t) 时，求系统全响应 y(t) 的初值 y(0+ ) 。
2）求系统的冲激响应 h(t) ；
3）根据 1）中求出的 H (s) ，确定当输入 x(t) = e3t ,−∞ < t < ∞ 时的输出 y(t) 。
解：
16
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案
5-2-17 已知 LTI 系统的输入信号 x (t ) = e−tu (t ) ，系统的单位冲激响应为 h (t ) = e−2tu (t ) 。 1） 求出 x (t ) 和 h (t ) 的拉普拉斯变换； 2） 用卷积性质确定输出 y (t ) 的拉普拉斯变换Y ( s) ； 3） 对Y ( s) 经反变换求 y (t ) ； 4） 直接计算 x (t ) 和 h (t ) 的卷积，验证 3）的结果。
第 5 章 习题参考答案
试确定信号 x(t) 和 y(t) 的拉普拉斯变换和 X (s) 和Y (s) ，指出收敛域。
解：
5-2-7 某连续时间信号 y (t ) 与连续时间信号 x1 (t ) 和 x2 (t ) 之间存在如下卷积关系： y (t=) x1 (t − 2)* x2 (−t + 3)
6） 5e−0.3tu(t − 2)
F (s) = 5e−0.6 e−2s s + 0.3
7） t e2tu (−t )
8） te−2t u (t ) 9）δ (t) + u (t) 10） e−2tu (t + 1)
3
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案
11）δ (at + b)
12）δ (3t) + u (3t) 13）δ (t + 1) + δ (t) + e−2(t+3)u (t + 1)
15）
x
(t
)
=
1 0
0≤t ≤1 other
4
第五章 拉普拉斯变换
16）
x
(t
)
=
2
t −
t
0≤t ≤1 1≤t ≤2
第 5 章 习题参考答案
5-2-2 对下列每个信号的拉普拉斯变换及其收敛域，确定其对应的连续时间函数 f (t) ：
1） F (s)
=
(s
s − 1)2 + ω0 2
= f (t) 2e−2(t−2)u(t − 2) − e−(t−2)u(t − 2) + 0.5u(t − 3) +0.5e−2(t−3)u(t − 3) − e−(t−3)u(t − 3)
12） F (s) = se−2s + 1 (s + 1)(S + 2)
= 13） F (s)
(s2
s + 1)2
12） F (s) = se−2s + 1 (s + 1)(S + 2)
5
第五章 拉普拉斯变换
第 5 章 习题参考答案
= 13） F (s)
(s2
s + 1)2
,σ
>
0
14） F (s) = 1 − e−2s s(s + 3)
解：
1） F (s) =
s
,σ > 1
(s − 1)2 + ω0 2
= f (t)
et
cosω0tu(t)