新课标第一网系列资料 2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工类)【34】(A ,湖北,理1)在复平面内,复数2i1iz =+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限考点名称 数系的扩充与复数的概念 【34】(A ,湖北,理1)D 解析:i 1i)i(1i1i2+=-=+=z ,则i 1-=z【1】(A ,湖北,理2)已知全集为R ,集合1{()2A x =B =A .{0}x x ≤B .{C .{024}x x x ≤<>或D .{考点名称 集合【1】(A ,湖北,理2)C解析:∵x 0≥⇔x ,∴A B =R ð{024}x x x ≤<>或.【2】(A p 是“甲降落在指定范围”,q A .(⌝.()p ⌝∧()q ⌝ D .p ∨q考点名称 【2】(A 解析:因为”,则p -是“没有降落在指定范围”,q -是“乙 ”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ . 【6】(B ,湖北,理4文6)将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 A .π12B .π6C .π3D .5π6考点名称 三角函数及其图象与性质 【6】(B ,湖北,理4文6)B新课标第一网系列资料 解析:因为sin ()y x x x +∈R 可化为)6cos(2π-=x y (x ∈R ),将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ,其图像关于y 轴对称.【17】(B ,湖北,文2理5)已知π04θ<<,则双曲线1C :22221cos sin x y θθ-=与2C :222221sin sin tan y x θθθ-=的A .实轴长相等B .虚轴长相等 C考点名称 圆锥曲线及其标准方程 【17】(B ,湖北,文2理5)D解析:对于双曲线C1,有1sin cos 222=+=θθc ,e θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ,=a c e . 【7】(B ,湖北,理6文7)已知点(1,1)A -、(1,2)B 、影为AD .【7】223255152=⨯+⨯. 【3125()731v t t t=-++(t m )是A .125ln 5+B .11825ln3+ C .425ln 5+ D .450ln 2+考点名称 定积分与微积分基本定理 【31】(C ,湖北,理7)C 解析:令25()731v t t t =-++=0,解得t =4或t =38-(不合题意,舍去),即汽车经过4秒中后停止,在此期新课标第一网系列资料 间汽车继续行驶的距离为⎰⎰++-=4040d )12537(d )(t t t t t v 42)1l n (25237⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=t t t =5ln 254+. 【21】(B ,湖北,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<<考点名称【21】(B 解析π37)1212=⨯++,ππ22122=⋅⋅=V , 233==V 2134V V V V <<<. 【26】(B 125个同样大小的小正方体. 经过搅X ,则X 的均值()E X = A .126125 B .65C .168125D .75考点名称 统计【26】(B ,湖北,理9)B 125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750,涂了油漆的面数有25×6=150. 每一个小正方体的一个面涂漆的频率为51750150=,则它的涂漆面数为X 的均值()E X =56651=⨯. 第8题图新课标第一网系列资料【29】(C ,湖北,理10)已知a 为常数,函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ,212()x x x <,则A .1()0f x >,21()2f x >-B .1()0f x <,21()2f x <-C .1()0f x >,21()2f x <-D .1()0f x <,21()2f x >-考点名称 导数及其应用 【29】(C ,湖北,理10)D解析: ax x x f 21ln )('-+=,由()(ln )f x x x ax =-12ln -=ax x 有两个实数解,从而直线12-=ax y xy ln =的切线,设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率01x k =0100=-=x x y ,又切点在曲线x y ln =上,则0ln 0=x 1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.1-之间,如图所示,其斜率2a 满足:0<2a <1,解得0<a <21. .21x <,所以)(1f x f <)(1a x f -<【26】(A 电量调查, (Ⅰ (Ⅱ内的户数为_________. 考点名称【26】(A ,湖北,理11)(Ⅰ)0.0044 (Ⅱ)70解析:(Ⅰ))]0012.00024.020036.00060.0(501[501+⨯++-=x =0.0044;(Ⅱ)用电量落在区间[100,250)内的户数为第11题图新课标第一网系列资料 7010050)0044.00060.00036.0(=⨯⨯++.【24】(A ,湖北,理12)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i =_________. 考点名称 算法初步与框图 【24】(A ,湖北,理12)5解析:已知初始值1,10==i a ,∵410≠=a ,则执行程序,得2,5==i a ;因为45≠=a ,则执行程序,得3,16==i a ;416≠=a ,则第三次执行程序,得4,8==i a ;∵48≠=a ,则第四次执行程序,得5,4==i a ;∵4=a ,执行输出i ,5=i .【13】(C ,湖北,理13)设,,x y z ∈R ,且满足:22x y ++_________. 考点名称【13】(C ,湖北,理13解析:【39】(湖北理14,10, ,第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k n 个数的表达式:_________. 考点名称 【13】(C 解析:三角形数 211(,3)22N n n n =+,正方形数 2(,4)N n n = =n n )2121()2121(2212-++个,第12题图新课标第一网系列资料 五边形数 231(,5)22N n n n =-=n n )212121()212121(2213--+++个,六边形数 2(,6)2N n n n =- =n n )21212121()21212121(2122214----++++个个=, ………………………………………推测k 边形=),(k n Nn k )2121...2121(221)2(-+++++个.所以24(2110)224(21)24,10(2⨯-⨯-⨯=N 【37】(B ,湖北,理15)如图,圆O 上一点C 在直径3AB AD =,则CEEO的值为_________. 考点名称 选修4-1:几何证明选讲 【37】(B ,湖北,理15)8解析: Rt △ODE =在Rt △ODE 28OE ,在Rt △CDE 28DE 264OE =,即6422=EOCE ,∴8=EO CE . 【36】(A cos ,sin ϕϕ(ϕ为参数,0a b >>). 在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=(m 为非零常数)与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为_________. 考点名称 选修4-4:坐标系与参数方程B第15题图新课标第一网系列资料 【36】(A ,湖北,理16椭圆C 的方程可以化为12222=+by a x ,圆O 的方程可化为222b y x =+,直线l 的方程可化为m y x =+,因为直线l 经过椭圆的焦点,且与圆O 相切,则m c =,m b 22=,m m m a 26222=+=,所以椭圆的离心率3626===mm a c e . 【10】(B ,湖北,理17)在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos23cos()1A B C -+=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积S =5b =,求sin sin B C 的值. 考点名称 解三角形【10】(B ,湖北,理17)(Ⅰ)由cos23cos()1A B C -+=,得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,解得1cos 2A = 或cos 2A =-(舍去). 因为0πA <<,所以π3A =. (Ⅱ)由S =20=. 又5b =,知4c =. 2021,=故a =20352147=⨯=.【19】(B 23|10a a -=,123125a a a =. (Ⅰ(Ⅱ1≥?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由. 考点名称 【19】(B ,湖北,理18)(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ,则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅,或15(1)n n a -=-⋅-.新课标第一网系列资料(Ⅱ)若1533n n a -=⋅,则1131()53n n a -=⋅,故1{}n a 是首项为35,公比为13的等比数列,从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-,则111(1)5n n a -=--,故1{}n a 是首项为15-,公比为1-的等比数列,从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上,对任何正整数m ,总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥ 成立. 【23】(B ,湖北,理19)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(Ⅰ)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l PAC 的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.考点名称 空间向量与立体几何【23】(B ,湖北,理19)(Ⅰ)直线l ∥平面PAC ,证明如下:连接EF ,因为E ,F 分别是PA ,PC 的中点,所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ,且AC ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ,且平面BEF 平面ABC l =,所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ,EF ⊂平面PAC ,所以直线l ∥平面PAC . (Ⅱ)(综合法)如图1,连接BD ,由(Ⅰ)可知交线l 即为直线BD ,且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径,所以AC BC ⊥,于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ,而l ⊂平面ABC ,所以PC l ⊥. 而PC BC C = ,所以l ⊥平面PBC .连接BE ,BF ,因为BF ⊂平面PBC ,所以l BF ⊥.第19题图第19题解答图1新课标第一网系列资料 故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角,即CBF β∠=.由12DQ CP = ,作DQ ∥CP ,且12DQ CP =.连接PQ ,DF ,因为F 是CP 的中点,2CP PF =,所以DQ PF =, 从而四边形DQPF 是平行四边形,PQ ∥FD .连接CD ,因为PC ⊥平面ABC ,所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影, 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角,即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ,有BD BF ⊥,知BDF ∠故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角,即∠于是在Rt △DCF ,Rt △FBD ,Rt △BCF sin CF DF θ=,sin BF DF α=,sin CF BFβ=, 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==,即sin θ=(Ⅱ)(向量法)如图2,由12DQ CP = ,作DQ ∥CP 连接PQ ,EF ,BE ,BF ,BD ,由(Ⅰ)可知交线l 即为直线BD . 以点,,x y z 轴,建立如图所2c ,则有 (0,,,)C a b c ,1(2E 于是(0,,)b c =-,所以sinα又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ,可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ,所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n . 第19题解答图2新课标第一网系列资料 于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m nsin β=.故sin sin sin αβθ===,即sin sin sin θαβ=.【40】(B ,湖北,理20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . (Ⅰ)求0p 的值;(参考数据:若X ~2(,)N μσ,有()0.682P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.)(Ⅱ)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?考点名称【40】(B 2(800,50)N ,故有800μ=,50σ=P0p(Ⅱ)设A 运成本为0x y+ 由(Ⅰ)知,0(900)p P X =≤,故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥.于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ,第20题解答图新课标第一网系列资料 且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知,当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时,直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小,即z 取得最小值. 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.【16】(C ,湖北,理21)如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n >重合的直线l 与1C ,2C mnλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线并说明理由.考点名称 直线与圆锥曲线【16】(C ,湖北,理21)依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为C 0n >>, 1.m n λ=>l 的方程为0x =,则S 1|||2a AB =,所以12||||S BD S AB =. B y n =,D y m =-, 由1λ>,可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则1λ=. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=.新课标第一网系列资料 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则1λ=.(Ⅱ)解法1:如图2不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,所以12d d =.,即||||BD AB λ=. (1)||AB λ-, ① 根据对称性可知C B x x =-,D A x x =-,于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+=-. ③第21题解答图1新课标第一网系列资料 令1(1)t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠,所以20k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-, 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>,可解得11t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-,由1λ>,解得1λ>当11λ<≤l ,使得12S S λ=;当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为1d =,2d ==,所以12d d =.又111||S BD d =,221||S AB d =,所以1|||S BD λ==.11A B x x λλ+=-.22A x a 22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=, 22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-,解得1λ>+ 当11λ<≤l ,使得12S S λ=; 当1λ>l 使得12S S λ=. 【40】(湖北理22)设n 是正整数,r 为正有理数.新课标第一网系列资料 (Ⅰ)求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值;(Ⅱ)证明:1111(1)(1)11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++; (Ⅲ)设x ∈R ,记x ⎡⎤⎢⎥为不小于...x 的最小整数,例如22=⎡⎤⎢⎥,π4=⎡⎤⎢⎥,312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S = S ⎡⎤⎢⎥的值.(参考数据:4380344.7≈,4381350.5≈,43124≈ 考点名称 【40】(湖北理22)(Ⅰ)因为()(1)(1)(r f x r x r '=++-+0x =.当10x -<<时,()0f x '<,所以()f x 在(1,0)-当0x >时,()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. (Ⅱ)由(Ⅰ),当(1,)x ∈-+∞时,有()(0)0f x f ≥=1(1)1(1)r x r x ++≥++,且等号当且仅当0x =(1+111)1r r n n+++>+. ,即rn <当n 0≠),类似可得rn >且当1n =时,③也成立. 综合②,③得1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④(Ⅲ)在④中,令13r =,n 分别取值81,82,83,…,125,得新课标第一网系列资料44443333338180(8281)44--(),44443333338281(8382)44--(,44443333338382(8483)44-<-(), ………4444333333125124(126125)44-<-(). 将以上各式相加,并整理得444433333312580(12681)44S -<<-(). 代入数据计算,可得4433312580210.24-≈(,34(由S ⎡⎤⎢⎥的定义,得211S =⎡⎤⎢⎥. 新|课|标|第|一|网。