递归算法与递归程序岳西中学：崔世义一、教学目标1知识与技能(1) •认识递归现象。
(2) •使用递归算法解决冋题往往能使算法的描述乘法而易于表达(3) •理解递归三要素：每次递归调用都要缩小规模；前次递归调用为后次作准备：递归调用必须有条件进行。
(4) •认识递归算法往往不是咼效的算法。
(5) • 了解递归现象的规律。
(6) •能够设计递归程序解决适用于递归解决的问题。
(7) •能够根据算法写出递归程序。
(8) • 了解生活中的递归现象，领悟递归现象的既有重复，又有变化的特点，并且从中学习解决问题的一种方法。
2、方法与过程本节让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手，引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。
然后让学生做练习(2) 和练习(3)这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。
最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。
3、情感态度和价值观结合高中生想象具有较强的随意性、更富于现实性的身心发展特点，综合反映出递归算法的特点，以及递归算法解答某些实践问题通常得很简洁，从而激发学生对程序设计的追求和向往。
二、重点难点1、教学重点(1) 了解递归现象和递归算法的特点。
(2) 能够根据问题设计出恰当的递归程序。
2、教学难点(1) 递归过程思路的建立。
(2) 判断冋题是否适于递归解法。
(3) 正确写出递归程序。
三、教学环境1、教材处理教材选自《浙江省普通高中信息技术选修：算法与程序设计》第五章，原教材的编排是以本节以斐波那契的兔子问题引人，导出递归算法，从而自定义了一个以递归方式解决的函数过程。
然后利用子过程解决汉诺塔的经典问题。
教材经处理后，让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题入手，引导学生用自定义了一个以递归方式解决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。
然后让学生做练习⑵ 和练习⑶ 这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却都是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。
最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。
教学方法采用讲解、探究、任务驱动和学生自主学习相结合2、预备知识学生已掌握了用计算机解决问题的过程，掌握了程序设计基础，掌握了解析法、穷举法、查找法、排序法设计程序的技巧。
四、教学过程导入：大家玩汉诺塔游戏：这个游戏盘子在A、B C三根柱子上不停运动，有没有规律，和你在照过镜子时遇到的情况相同吗？当你往镜子前面一站，镜子里面就有一个你的像。
但你试过两面镜子一起照吗？如果甲、乙两面镜子相互面对面放着，你往中间一站，嘿，两面镜子里都有你的千百个“化身”！为什么会有这么奇妙的现象呢？原来，甲镜子里有乙镜子的像，乙镜子里也有甲镜子的像，而且这样反反复复，就会产生一连串的“像中像”。
这是一种递归现象。
由同学们总结出递归算法的概念递归算法：是一种直接或者间接地调用自身的算法。
在计算机编写程序中, 递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
问题4-16 :著名的意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在他的著作《算盘书》中提出了一个“兔子问题”：假定小兔子一个月就可以长成大兔子，而大兔子每个月都会生出一对小兔子。
如果年初养了一对小兔子，问到年底时将有多少对兔子？(当然得假设兔子没有死亡而且严格按照上述规律长大与繁殖)我们不难用以前学过的知识设计出如下算法：①输入计算兔子的月份数：n②If n < 3 The n c = 1 Else a = 1: b = 1③i = 3④c = a + b : a = b : b = c⑤i=i+1,如果i < n则返回④⑥结束参考程序如下：Private Sub Comma nd1_Click()n = Val(Text1.Text)If n < 3 The n c = 1 Else a = 1: b = 1For i = 3 To nc = a + ba = bb = cNext iText2.Text =" 第"& n & "月的兔子数目是："& c End Sub开动脑筋：我们有没有更简单的方法解决该问题呢？4.5.1 从斐波那契的兔子问题看递归算法1 •斐波那契的兔子问题子⑴分析冋题。
我们可以根据题意列出表4-3来解决这个问题: 表4—3兔子问题分析表这个表格虽然解决了斐波那契的兔子问题(年底时兔子的总数是144只)，但仔细观察一下这个表格，你会发现兔子的数目增长得越来越快，如果时间再长，只用列表的方法就会有困难。
(例如，你愿意用列表的方法求出5年后兔子的数目吗？)我们需要研究表中的规律，找出一般的方法，去解决这个问题。
交流仔细研究表4-8，你有些什么发现？每一个月份的大兔数、小兔数与上一个月的数字有什么联系，能肯定这个规律吗？恭喜你，你快成功了？⑵设计算法。
“兔子问题”很容易列出一条递推式而得到解决。
假设第N个月的兔子数目是F(N)，我们有：这是因为每月的大兔子数目一定等于上月的兔子总数，而每个月的小兔子数目一定等于上月的大兔子数目(即前一个月的兔子的数目)。
由上述的递推式我们可以设计出递归程序。
递归程序的特点是独立写出一个函数(或子过程)，而这个函数只对极简单的几种情况直接给出解答，而在其余情况下通过反复的调用自身而把问题归结到最简单的情况而得到解答。
刖面学过：自定义函数的定义格式：Function 函数名(参数表)[As type]过程中的代码End Fun cti on调用函数的格式：函数名(参数表)(3) 编写程序。
窗体中开设一个文本框Textl用于填人月数N,设置命令框Commandl点击它即执行程序求出第N月的兔子数。
然后用文本框Text2输出答案。
根据递推式可以写出递归程序如下：Function Fib(ByVal N As Integer) As LongIf N < 3 Then Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2) End Fun cti onPrivate Sub Comma nd1_Click()N = Val(Text1.Text)Text2.Text =" 第"& N & "月的兔子数目是："& Fib(N)End Sub⑷调试程序因为这个算法的效率不高，建议在调试程序时月份数不要大于40。
4.5.2 —个应用递归算法解决的问题经典例子问题4-17 :传说在古代印度的贝拿勒斯神庙，有一块黄铜板上插了3根宝石柱，在其中一根宝石柱自上而下由小到大地叠放着64个大小不等的金盘。
一名僧人把这些金盘从一根宝石柱移到另外一根上。
僧人在移动金盘时遵守下面3条规则：第一，一次只能移动一个金盘。
第二，每个金盘只能由一根宝石柱移到另外一根宝石柱。
第三，任何时候都不能把大的金盘放在小的金盘上。
神话说，如果僧人把64个金盘完全地从一根宝石移到了另外一根上，世界的末日就要到了。
当然，神话只能当故事来听，世界不可以因为个别人的活动而导致末日。
不过，从僧人搬完64个金盘所需时间的角度来说，即使僧人每秒都能移动一个金盘，那也得要几千亿年！(1) 分析问题。
我们把3根宝石柱分别命名为A、B、C。
最初有N个金盘放在A,需要把它们全部按规则移动到Bo当N=1时，直接把金盘从A搬到B就可以了，1次成功。
当N A2,那么需要利用C柱来过渡。
我们假设已经找到一种把N—1个金盘从一根柱搬到另外一根柱的方法，那么，我们只要把N-1个金盘从A搬到C,然后把最大的金盘从A搬到B,最后把C上的N一一1个金盘搬到B就可以了。
靠递归的思想，我们轻而易举地完成了整个搬动。
⑵设计算法。
我们定义一个过程Hanoi(N，A，B，C)，表示有N个金盘需要从A柱搬到B 柱(以C柱为过渡)。
那么完成它只需3步：①Hanoi(N —1, A，C, B)它的意思是把A柱上的N —1个金盘搬到C柱;②A-B它的意思是把一个(最大的)金盘从A柱搬到B柱；③Hanoi(N —1, C, B, A)它的意思是把c柱上的N —1个金盘搬到B柱。
前面已经学过：过程定义的格式：Private Sub 过程名(参数表)代码End Sub调用过程的格式：Call过程名(参数表)(3)编写程序(引导学生编写程序)。
Private Sub Hanoi(n As Integer, ByVai A As String, ByVai B As String, ByVai C As Stri ng, t As Long)If n = 1 The n Text3.Text = Text3.Text + A + " —" + B + vbCrLft = t + 1 '增加变量t用来统计移动次数。
ElseCall Hanoi(n - 1, A, C, B, t)Text3.Text = Text3.Text + A + " t = t + 1Call Hanoi(n - 1, C, B, A, t) End If End SubPrivate Sub Comma nd1_Click() Dim t As Long, n As In teger t = 0 n = Val(Text1.Text) A = "A" B = "B"Call Hanoi(n, A, B, C, t) Text2.Text = t End Sub⑷测试程序 在文本框中输入4。
小结：递归算法的特点递归过程一般通过函数或子过程来实现。
递归算法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的 算法。
递归算法的实质：是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。
然后递归调 用函数(或过程)来表示问题的解。
递归算法解决问题的特点：(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
(2) 在使用递增归策略时，必须有一个明确的 递归结束条件，称为递归出口。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。
所以一般 不提倡用递归算法设计程序。
(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。
递归次数过多容易造成栈溢出等。
所以一般不提倡用递归算法设计程序。
递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备 (通常前一次的 输出就作为后一次的输入)；三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行 递归调用，因而每次递 归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将 会成为死循环而不能正常结束。