高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368936⎪⎩⎪⎨⎧==213x h∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积ππ942==r S .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2222c b a R ++=练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
球的表面积为ππ1642==RS例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. π3B. π4C. π33 D. π6例7 已知球O的面上四点A、B、C、D，ABCDA平面⊥，BCAB⊥，3===BCABDA，则球O的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABCDA平面⊥，BCAB⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为3===BCABDA，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3=CD.故球O的体积等于π29.（如图4）AO 图4C BO图52、例8已知点A、B、C、D在同一个球面上，BCDAB平面⊥，BCDC⊥，若8,132,6===ADACAB，则球的体积是解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，4==OCOB为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出BOC∠即可，在ABCRt∆中，求出4=BC，所以 60=∠BOC，故B、C两点间的球面距离是π34.（如图5）本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.π16 B.π20 C.π24 D.π32.小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥ABCDS-的底面边长和各侧棱长都为2，点DCBAS,,,,都在同一球面上，则此球的体积为解:设正四棱锥的底面中心为1O，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCDOO平面⊥1.又ABCD SO平面⊥1，∴球心O必在1SO所在的直线上.∴ASC∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC∆中，由222,2,2ACSCSAACSCSA=+===得，C DA BSO1图3∴为斜边的直角三角形是以AC ASC ∆. ∴12=AC 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故π34=球V . 五 .确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，3,4==BC AB ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 解:设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OD OC OB OA ===.∴点O 到四面体的四个顶点D C B A ,,,的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径25==OA R .故ππ6125343==R V 球. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且10,51,5,7====AC PC PB PA 求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且10,51,5,7====AC PC PB PA 因为 22210)51(7=+ 所以知:222PC PA AC =+ 所以 PC AP ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在APC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点，C AO DB图4在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在APC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即为该四面体的外接球的球心52==AC R 所以该外接球的体积为ππ3500343==R V 球 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得BC =,由正弦定理,可得ABC ∆外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径R =2420R ππ=. 3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 答案 84.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．3B．13πC．23πD答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由284⨯=知，1a=，故选A。
5.已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（）A.22B.332 C.324 D.334答案 D6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A. 1∶3B. 1∶3C. 1∶33D. 1∶9答案 C7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为．答案34π8. （天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案14π9.（全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案242+10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF-，则此正六棱锥的侧面积是________．答案6711.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案212.（枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．π3B．π2C．316πD．以上都不对答案C13.设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（）ABCPDEFA ．π38B ．2πC ．4πD ．π34 答案C。