【精品】2019年高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，
体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题
例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8
9，底面周长为3，则这个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 2436893
6 ⎪⎩⎪⎨⎧==213x h
∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离2
3=
d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
故其外接球的表面积ππ942==r S .
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2
222c b a R ++=
练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表
面积。

球的表面积为ππ1642==R S
例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此 球的表面积为（ ）
A. π3
B. π4
C. π33
D. π6
例7 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥， 3===BC AB DA ，则球O 的体积等于 . 解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为3===BC AB DA ，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3=CD .故球O 的体积等于π29.（如图4）
D A C B O 图4 A C B D
O 图5
2、例8已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，
BCD AB 平面⊥，BC DC ⊥， 若8,132,6===AD AC AB ，则球的体积是
解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，4==OC OB 为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在ABC Rt ∆中，求出4=BC ，所以 60=∠BOC ，故B 、C 两点间的球面距离是π34.（如图5）
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。

三.多面体几何性质法
例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16， 则这个球的表面积是
A.π16
B.π20
C.π24
D.π32.
小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，点
D C B A S ,,,,都在同一球面上，则此球的体积为 解:设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，
如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCD OO 平面⊥1.
又ABCD SO 平面⊥1，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.
∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接
圆的半径就是外接球的半径.
在ASC ∆中，由222,2,2AC SC SA AC SC SA =+===得， C D A B S
O 1图3。