证明圆的切线方法及例题
证明圆的切线常用的方法有:
一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直•
例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.
求证：EF与O 0相切.
证明：连结OE, AD.
•/ AB是O 0的直径，
••• AD 丄BC.
又••• AB=BC ,
•••/ 3= / 4.
——
• BD=DE，/ 1 = / 2.
又••• OB=OE , OF=OF ,
•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS)
•••/ OBF= / OEF.
••• BF与O O相切，
•OB 丄BF.
•••/ OEF=9O°.
•EF与O O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA
与O O 相切.
证明一：作直径AE ，连结EC.
•/ AD 是/ BAC 的平分线， •••/ DAB= / DAC. •/ PA=PD , •••/ 2= / 1+ / DAC. •••/ 2= / B+ / DAB , •••/ 1 = / B.
•/ AE 是O O 的直径,
• AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. •••/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. • PA 与O O 相切.
•/ PA=PD , •••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE,
证明二：延长AD 交O O 于E ,连结
•/ AD 是/ BAC 的平分线, • BE=CE , • OE 丄
BC.
•••/ E+/ BDE=90 0.
•/ OA=OE , •••/ E=/ 1. P
P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
说明：例3 求证：证明一
证明二
•••/ 1 + / PAD=90°
即OA丄PA.
• PA与O O相切
此题是通过证明两角互余，证明垂直的
如图，AB=AC，AB是O O的直径，
DM与O O相切.
:连结OD.
-AB=AC ,
•/ B= / C.
-OB=OD ,
•/ 仁/ B.
•/ 仁/C.
•OD // AC.
-DM 丄AC,
•D M 丄OD.
•D M与O O相切
:连结OD, AD.
•/ AB是O O的直径，
•AD 丄BC.
又••• AB=AC,
• / 1= / 2.
•/ DM 丄AC ,
•/ 2+Z °
，解题中要注意知识的综合运用
O O交BC于D, DM丄AC于M • / 3+/4=90°.
即0D 丄DM. ••• DM 是O O 的切线
解题中注意充分利用已知及图上已知
例4 如图，已知：AB 是O 0的直径，点 D 在AB 的延长线上.
求证：DC 是O 0的切线 证明：连结OC 、BC.
•/ OA=OC ,
•••/ A= / 1= / 30°.
•••/ BOC= / A+ / 1= 60°. 又••• OC=OB , • △ OBC 是等边三角形 • OB=BC. •/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线. 证明：连结OC
•/ OA 2=OD • OP , OA=OC ,
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的
.证明二是通过证两角互余证明垂直的,
C 在O O 上，且/ CAB=30 °, BD=OB ,
3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较
• OC2=OD • OP,
OC op OD
OC .
又•••/ 1= / 1,
•••△ OCP s\ODC.
•••/ OCP= / ODC.
•/ CD 丄AB ,
•••/ OCP=9O°.
• PC是O O的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.
求证：CE与厶CFG的外接圆相切
分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边
FG的中点, 证明：为此我们取FG的中点O,连结. OC,证明CE丄OC即可得解.取FG中点O,连结OC.
T ABCD是正方形，
• BC 丄CD , △ CFG 是
Rt△
•/ O是FG的中点，
E
C • O是Rt A CFG的外心.
•/ OC=OG ,
•••/ 3= / G,
•/ AD // BC,
• / G= / 4.
•/ AD=CD , DE=DE ,
/ ADE= / CDE=45°,
• △ ADE CDE (SAS)
•••/ 4= / 1,Z 1 = / 3.
•••/ 2+ / 3=90°, •••/ 1 + / 2=90°.
即CE 丄OC.
• CE 与厶CFG 的外接圆相切
、若直线I 与O O 没有已知的公共点， 又要证明I 是O O 的切线，只需作OA 丄I ,
A 为垂足，证明 OA 是O O 的半径就行了，简称："作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC , D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切.
证明一：连结DE ,作DF 丄AC , F 是垂足.
••• AB 是O D 的切线，
• DE 丄 AB. •/ DF 丄 AC , •••/ DEB= / DFC=90°. •/ AB=AC , •••/ B= / C. 又••• BD=CD ,
•••△ BDE 也厶 CDF (AAS ) • DF=DE.
• AC 是O D 的切线
连结DE , AD ，作DF 丄AC , F 是垂足.
••• AB 与O D 相切， • DE 丄 AB.
•/ AB=AC , BD=CD , •/ DE 丄 AB , DF 丄 AC , ••• DE=DF.
证明二: 負
B C
••• F 在O D 上.
• AC与O D相切.
说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性
质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关•
例8 已知：如图，AC, BD与O O切于A、B,且AC // BD，若/ COD=9O0. 求证：CD 是O O的切线.
证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.
•••/ 4+ / 5=90°.
•••/ 1 = / 5.
• Rt△AOC s Rt△BDO.
•AC OC
"OB OD.
•/ OA=OB ,
•AC OC
…OA OD.
又•••/ CAO= / COD=90°,
• △ AOC ODC ,
•••/ 1 = / 2.
又••• OA 丄AC , OE 丄CD,
••• OE=OA.
••• E点在O O上.
• CD是O O的切线.
证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.
••• AC，BD 与O O 相切，
•AC 丄OA , BD 丄OB.
•/ AC // BD ,
•••/ F=Z BDO.
又••• OA=OB ,
•△ AOF ◎△ BOD
(AAS
•OF=OD.
•••/ COD=9O°,
•CF=CD，/ 1= / 2.
又••• OA 丄AC , OE 丄CD ,
•OE=OA.
•E点在O O上.
•CD是O O的切线.
证明三：连结AO并延长，作OE丄CD于E ,取CD中点F ,连结OF.
••• AC与O O相切,
• AC 丄AO.
•/ AC // BD , • AO 丄BD.
9
••• BD与O O相切于B,
•AO的延长线必经过点•AB是O O的直径.•/ AC // BD , OA=OB ,
B.
CF=DF ,
••• OF // AC ,
•••/ 仁/COF.
•••/ COD=90°, CF=DF ,
1
•OF —CD CF .
2
•••/ 2=Z COF.
•••/ 仁/2.
•/ OA 丄AC , OE 丄CD,
•OE=OA.
•E点在O O上.
•CD是O O的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2,证明二是利用等腰三角形三线合一
证明/ 1 = / 2.证明三是利用梯形的性质证明/ 1= / 2,这种方法必需先证明A、0、B
三点共线.
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考
11。