P( X x ) 1 F ( x ) , 则称x为随机变量X的上分位数. 其中0 1.
N (0,1)， 2 (n)，t(n)，F (m, n)的上分位数分 别记为u，2 (n)，t (n)，F (m, n).
分位数的几何意义如下图所示：
f (x)
f(x)
O
2
(
n
)
f (x)
x
O
O t (n)
三 F分布
设随机变量X ~ 2 (m),Y ~ 2 (n)，且X与Y 独立，
则随机变量
F X/m Y /n
的分布称为自由度为m与n的F分布,记为F ~ F (m, n),
其中m为分子自由度，n为分母自由度.其密度函数为
Γ (m n) 2 m n
xm 2
1
f ( x,m,n)
Γ
(m
2)Γ (n
x
F (m, n) x
分位数的性质：
(1) u1 u , t1 (n) t (n). 当n 30时，t (n) u .
(2) 当n充分大（n 40即可），有
2 (n)
1 2
(
u
2n 1)2 .
(3)
F
(m, n)
F1
1 (n, m)
.
学习了三大分布后，我们就可以去研究常用统计 量的分布。下一讲，我们将学习在正态分布的条件下， 常用统计量的分布——抽样分布.
2 2
~
2 (n2 ),并且相互独立，则
12
2 2
~
2
(
n1
n2 ).
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
性质4 2分布的极限分布是正态分布
设 2 ~ 2 (n)，则对任意x，有
lim P{ 2 n x} x
1
e
t2 2
dt
( x).
n
2n
2
近似
即 2 (n) ~ N (n, 2n).
性质3 E(F ) n (n 2), n2
D(F ) 2n2 (m n 2) , m(n 2)2 (n 4)
(n 4).
F 分布是为纪念英国著名统计学家费歇 （R.A. Fisher，1890 1962）而命名的．它是数
理统计的重要分布之一.
四 分位数(点)
定义 设X的分布函数为F ( x)， 若实数x 满足
n 2
1
e
x
2，
x
0；
0，
x 0.
(r) xr1exdx, r 0. 0
f(x) n1
n4
n 10
O
5 10 15 20
x
2分布的概率密度函数
2分布的性质：
性质1 分布的变量值始终为正；
性质2 E( 2 (n)) n，D( 2 (n)) 2n；
性质3 2分布的可加性
设12 ~ 2 (n1 ),
第五章 数理统计的基本知识 第二讲 数理统计的三大分布
主讲教师 胡发胜 教授
一 2分布
设X1 , X2 ,, Xn相互独立且都服从N (0,1)，则称 随机变量
2
X12
X
2 2
X
2 n
所服从的分布称为自由度为n的 2分布，记为 2 (n).
其密度函数为
其中
f2
( x,n)

2n
1 2 (n
2)
x
m 2 n2 2)
(mx
mn
n) 2
,
x 0,
0,
x 0.
fF (x)
(1,10) (,10)
(10,10) (5,10)
O
x
F 分布概率密度函数
F 分布的性质：
性质1 若X ~ F (m, n)，则1 / X ~ F (n, m)； 性质2 若X ~ t(n)，则 X 2 ~ F (1, n)；
二 t分布
设随机变量X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n)，且X与Y 独立，
则随机变量
t X Y /n
所服从的分布称为自由度为n的t分布，记为t(n). 其密度函数为
ft ( x;n)
[(n 1) 2] (1
(n 2) n
x2 n
n1
) 2,
x .
ft (x)
n , N(0,1) n6
n2
O
x
t分布的密度函数： 低峰、厚尾
t分布的性质：
性质1 密度函数f ( x, n)是偶函数，且
lim f ( x, n)
1
x2
e 2 ( x).
n
2
即t分布的极限分布是标准正态分布.
性质2 设T t(n)，则 当n 1时, E(T )不存在,t(1)是标准柯西分布, 当n 2时， E(T ) 0， 当n 3时， D(T ) n . n2