向量专项练习参考答案
一、选择题
1．(文)(2014·郑州月考)设向量 a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果 a 与 b 共线且方向相反，则
m 的值为( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
[答案] A
[解析] 设 a＝λb(λ<0)，即 m＝λ 且 1＝λm.解得 m＝±1，由于 λ<0，∴m＝－1.
[点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若 a＝(x1，y1)，b＝(x1，y2)， 则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当 a，b 都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，同时还要注意 a∥b 与xx12＝yy12不等价．
要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利
用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．
(理)(2013·安庆二模)已知 a，b 是不共线的两个向量，A→B＝xa＋b，A→C＝a＋yb(x，y∈R)，
若 A，B，C 三点共线，则点 P(x，y)的轨迹是( )
2．证明共线(或平行)问题的主要依据：
(1)对于向量 a，b，若存在实数 λ，使得 b＝λa，则向量 a 与 b 共线(平行)．
(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 x1y2－x2y1＝0，则向量 a∥b.
(3)对于向量 a，b，若|a·b|＝|a|·|b|，则 a 与 b 共线．
要注意向量平行与直线平行是有区别的．
∴2sin2α－3sinα－2＝0，
∵|sinα|≤1，∴sinα＝－12，
∵α∈－π2，π2，∴cosα＝
23，∴tanα＝－
3 3.
8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为
AH 的中点，若A→M＝λA→B＋μA→C，则 λ＋μ＝________.
若点 P 在 y 轴上，则 t＋2＝0，∴t＝－2；
t＋2>0 若点 P 在第四象限，则
3t－1<0
，∴－2<t<13.
(2)O→A＝(2，－1)，P→B＝(－t－1，－3t＋4)．
若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B.
－t－1＝2
∴
无解．
－3t＋4＝－1
∴ 四边形 OABP 不可能为平行四边形．
A．－1
B．1
C．0 [答案] B [解析] 如图，设A→B＝λA→C，
D．2
则O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋λA→C＝O→A＋λ(O→C－O→A) ＝O→A＋λO→C－λO→A＝(1－λ)O→A＋λO→C
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1. [点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，
→ C.EO [答案] D
B．O→G D．F→O
[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选 D.
二、填空题
7．已知 a＝(2，－3)，b＝(sinα，cos2α)，α∈－π2，π2，若 a∥b，则 tanα＝________.
[答案]
－
3 3
[解析] ∵a∥b，∴si2nα＝c－os23α，∴2cos2α＝－3sinα，
A．直线
B．双曲线
C．圆
ห้องสมุดไป่ตู้
D．椭圆
[答案] B
[解析] ∵A，B，C 三点共线，
∴存在实数 λ，使A→B＝λA→C.
x＝λ，
则 xa＋b＝λ(a＋yb)⇒
⇒xy＝1，故选 B.
1＝λy
6．(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则O→P＋ O→Q＝( )
→ A.OH
不正确，故选 A.
[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特
别对于这些概念：(1)单位向量|aa|，要知道它的模长为 1，方向同 a 的方向；(2)对于任意非零
向量 a 来说，都有两个单位向量，一个与 a 同向，另一个与 a 反向；(3)平面内的所有单位
向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相
[答案]
1 2
[分析] 由 B，H，C 三点共线可用向量A→B，A→C来表示A→H.
[解析] 由 B，H，C 三点共线，可令A→H＝xA→B＋(1－x)A→C，又 M 是 AH 的中点，所以A→M
＝12A→H＝12xA→B＋12(1－x)·A→C，又A→M＝λA→B＋μA→C.所以 λ＋μ＝12x＋12(1－x)＝12.
(理)(2013·荆州质检)已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则mn ＝
() A．－2
B．2
C．－12
D．12
[答案] C
[解析] 由向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)得 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，
因为 ma＋nb 与 a－2b 共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得mn ＝－12.
A．(－2,7)
B．(－6,21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
[答案] B
[解析] 由条件知，P→C＝2P→Q－P→A＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)，
∵B→P＝2P→C＝(－4,14)，
∴B→C＝B→P＋P→C＝(－6,21)．
4．在四边形 ABCD 中，A→B＝a＋2b，B→C＝－4a－b，C→D＝－5a－3b，其中 a，b 不共线，
2．(2014·山东青岛期中)设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使|aa|＋|bb|＝0 成立的是( )
A．a＝－13b C．a＝2b
B．a∥b D．a⊥b
[答案] A [解析] 由题意得|aa|＝－|bb|，而|aa|表示与 a 同向的单位向量，－|bb|表示与 b 反向的单位 向量，则 a 与 b 反向．而当 a＝－13b 时，a 与 b 反向，可推出题中条件．易知 B，C，D 都
等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是
共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．
3．(2015·广州执信中学期中)在△ABC 中，点 P 在 BC 上，且B→P＝2P→C，点 Q 是 AC 的
中点，若P→A＝(4,3)，P→Q＝(1,5)，则B→C＝( )
则四边形 ABCD 为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
[答案] C
[解析] ∵A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝－8a－2b＝2B→C，
∴四边形 ABCD 为梯形．
5．(文)(2014·德州模拟)设O→B＝xO→A＋yO→C，x，y∈R 且 A，B，C 三点共线(该直线不过
点 O)，则 x＋y＝( )
λ＝72 由①②联立解得
μ＝57
，即 λμ＝27×57＝1409.
9．(文)已知 G 是△ABC 的重心，直线 EF 过点 G 且与边 AB、AC 分别交于点 E、F，A→E ＝αA→B，A→F＝βA→C，则1α＋1β＝______.
[答案] 3 [解析] 连结 AG 并延长交 BC 于 D，∵G 是△ABC 的重心，∴A→G＝23A→D＝13(A→B＋A→C)， 设E→G＝λG→F，
同理可知，当 t＝1 时，四边形 OAPB 为平行四边形，当 t＝－1 时，四边形 OPAB 为平
行四边形． (理)已知向量 a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，设 m＝a＋tb(t 为实数)． (1)若 α＝π4，求当|m|取最小值时实数 t 的值； (2)若 a⊥b，问：是否存在实数 t，使得向量 a－b 和向量 m 的夹角为π4，若存在，请求
∴A→G－A→E＝λ(A→F－A→G)，∴A→G＝ 1 A→E＋ λ A→F， 1＋λ 1＋λ
∴13A→B＋13A→C＝1＋α λA→B＋1λ＋βλA→C，
1＋α λ＝13， ∴1＋λβλ＝13，
1α＝1＋3 λ， ∴β1＝13＋λλ，
∴1α＋1β＝3.
三、解答题 10．(文)已知 O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、O→P＝O→A＋tO→B，求 (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第四象限？ (2)四点 O、A、B、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(t＋2,3t－1)． 若点 P 在 x 轴上，则 3t－1＝0，∴t＝13；
[答案]
10 49
[解析] 由题意知A→B·A→C＝2×1×cos23π＝－1，∵AP⊥BC，∴A→P·B→C＝0，即(λA→B＋
μA→C)·(A→C－A→B)＝0，
∴(λ－μ)A→B·A→C－λA→B2＋μA→C2＝0，即 μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，①
∵P，B，C 三点共线，∴λ＋μ＝1，②
[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，
任一向量的表示都是唯一的．
(理)(2014·河北二调)在△ABC 中，AC＝1，AB＝2，A＝23π，过点 A 作 AP⊥BC 于点 P， 且A→P＝λA→B＋μA→C，则 λμ＝________.
出 t；若不存在，请说明理由． [解析] (1)∵α＝π4，∴b＝( 22， 22)，a·b＝32 2，
∴|m|＝ (a＋tb)2＝ 5＋t2＋2ta·b
＝ t2＋3 2t＋5＝ (t＋32 2)2＋12，
∴当
t＝－3 22时，|m|取到最小值，最小值为
2 2.