求实系数一元三次方程根的实用公式
在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：
设，
则它的三个根的表达式如下：
其中，
我们先用该公式解一个一元三次方程：。

解： p=- 9，q=6，∴T=- 3，D=- 18，
 ∴原方程的三个根为
这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：
其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、
、表达式不明确。

其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。

因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。

下面我们推导一个实用的改进型求根公式。

实系数一元三次方程可写为（1）
令，代入（1）得（2）
其中，
不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。

不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3）
代入（2）得，（4）
选择u、v，使得，即（5）
代入（4）得，（6）
将（5）式两边立方得，（7）
联立（6）、（7）两式，得关于的方程组：
，且
问题归结于上述方程组的求解。

即求关于t的一元二次方程的两根、，
设，，，
又记的一个立方根为，则另两个立方根为，，
其中，为1的两个立方虚根。

以下分三种情形讨论：
1）若，即D>0，则、均为实数，
可求得，，
取，，
在，组成的九个数中，
有且只有下面三组满足，
即、；、；、，
也就是满足，
∴方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，
其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，
这里的根式及都是在实数意义下的。

2）若，即时，
可求得，取
同理，可求得
∴方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。

3）若，即D<0时，
，∴p<0，，
则、均为虚数，求出、并用三角式表示，
就有，，
其中T，都是实数，
同理，
其中，且
取，，则
显然，当且仅当取，；，；，
这三组时才满足，
于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：
其中
当时，方程（2）有三个实根。

综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，
，
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，
，，
3）当时，方程有三个实根，
，
上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是实用性的。

这里用以下几个解一元三次方程的实例来说明该公式的应用。

例一、解方程。

解： p=- 27，q=54，∴D=0，
∴原方程的根为，。

例二、解方程。

解： p=9，q=4，∴D=31>0，
∴原方程有一个实根和两个共轭虚根：
例三、解方程。

解： p=- 9，q=6，∴D=- 18<0，∴原方程有三个实根：
通过差表或计算器、计算机可计算得：
这在工程技术上是极其有用的。