1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。

（2） 当0=∆时,方程有两个相等的实数根。

（3） 当0<∆时,方程没有实数根。

反之:方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ,=•21x x .我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理.2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ，=•21x x 。

3、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1)是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0，则=c ；有一根为1,则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数，则=c ；若两根互为相反数，则=b 。

5、二次三项式的因式分解(公式法）在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解。

［基础运用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。

变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值:（1)2221x x + (2）)1)(1(21++x x （3)2111x x + （4）221)(x x -变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值: （1）有两个实数根. （2)有两个正实数根. （3）有一个正数根和一个负数根。

（4)两个根都小于2.2、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。

（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。

（2）a 取何值时，方程有两个正根。

（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。

（4）a 取何值时,方程到少有一根为零？选用例题：例3:已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2,判别式的值为1，则b a 与是多少？例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。

例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，求m 的值。

基础训练：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ） (A ）有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是( ）（A ） 2y 2+5=6y(B ）x 2+5=2错误!x （C)错误!x 2－错误!x+2=0（D ）3x 2－2错误!x+1=0 4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 (C)y 2－5y ＋6=0 （D)y 2－5y －6=0 5．如果x 1,x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1， 那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B)－2 (C ）1 (D ）－16.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0，那么根的情况是（ ) （A ）有两个相等的实数根 (B ）有两个不相等的实数根 (C ）没有实数根 （D ）不能确定7。

设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ) （A ）15 （B ）12 （C ）6 (D)38．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝ 9．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是10．已知x 1,x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝11．若关于x 的方程(m 2－2）x 2－（m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ .二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2－x=5 （2）9x2－6错误!+2=0 (3）x2－x+2=02、当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2－（m+3）x+m－7=0，若有一个根为0，则m= , 这时方程的另一个根是 ;若两根之和为－错误!，则m= ，这时方程的两个根为 .4、已知3－错误!是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。

5、求证：方程(m2+1）x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。

6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－错误!和1+错误!。

7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：（1） (x1+1）(x2+1) (2)错误!+ 错误!（3）x12+ x1x2+2 x18、如果x2－2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m= ;9、方程2x（mx－4）=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;10、已知方程2(x－1)(x－3m）=x（m－4)两根的和与两根的积相等，则m= ；11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为；12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程，求下列各式的值：(1) x12+x22 (2）x1－x2（3）21xx （4）x1x22＋错误!x113、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式错误!的值。

14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1－错误!（a2x2－a2－1)=0有无实根？15、求证：不论k 为何实数，关于x 的式子（x －1）（x －2）－k 2都可以分解成两个一次因式的积.16、实数K 在什么范围取值时，方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根?训练（一)1、不解方程,请判别下列方程根的情况；(1）2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ; （3)5（u 2+1）－7u=0, ;2、若方程x2－（2m－1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值范围是 ;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+错误!和2－错误!,则p= ，q= ;4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是，m= ;5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是 ;6、m,n是关于x 的方程x2-（2m—1）x+m2+1=0的两个实数根，则代数式m n= 。

7、已知关于x的方程x2－(k+1）x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值；8、如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系,求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+错误!和β+错误!;9、已知a，b,c是三角形的三边长,且方程（a2+b2+c2)x2+2（a+b+c）x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式2x2－（4k+1）x+2k2－1可因式分解。

11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α，β，若ｓ＝错误!＋错误!,求ｓ的取值范围。

训练（二）1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ；2、如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为 ;3、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2错误!,则k= ;4、若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ；5、方程4x2－2（a-b）x－ab=0的根的判别式的值是；6、若关于x的方程x2+2（m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;7、已知p〈0，q<0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是；8、以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x1，x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：（1)x12x2+x1x22 (2) 错误!－错误!10．m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根,（3)没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q 的值。

12．是否存在实数k ，使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ，满足21x x ＝错误!，如果存在，试求出所有满足条件的k 的值,如果不存在，请说明理由。

一元二次方程根与系数关系专题训练主编:闫老师1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0）的两根是x 1、x 2, 那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根,那么：x 1+x 2= ;x 1·x 2= ;2111x x + ；x 21+x 22= ;（x 1+1）（x 2+1）= ;｜x 1－x 2|= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。

4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2,那么另一个根是 ,a 的值为 .5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。