2 描述交变电流的物理量[目标定位] 1.掌握交变电流的周期、频率、线圈转动角速度三者间的关系.2.理解交变电流有效值的含义，会进行有效值的相关计算.3.知道正弦式交变电流有效值与峰值的关系及在生活中的应用.4.了解相位及相位差的概念.一、周期和频率1.周期(T )：交变电流完成一次周期性变化所需的时间，用T 表示，单位是秒.2.频率(f )：交变电流在1 s 内完成周期性变化的次数，用f 表示，单位是赫兹，符号是Hz.3.T 、f 、ω三者之间的关系：T ＝1f ，f ＝1T ，ω＝2πT＝2πf . 4.(1)我国工农业生产和生活所用的交变电流，周期是0.02 s ，频率是50 Hz ，电流方向每秒改变100次.(2)打点计时器接交变电流，f ＝50 Hz ，T ＝0.02 s ，所以每隔0.02 s 打一次点.例1 如图1所示，图线a 是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生的正弦式交变电流的图象，当调整线圈转速后，所产生的正弦式交变电流的图象如图线b 所示，以下关于这两个正弦式交变电流的说法正确的是( )图1A.线圈先后两次周期之比为2∶3B.线圈先后两次转速之比为2∶3C.交变电流a 的瞬时值为u ＝10sin (5πt )VD.交变电流b 的最大值为203V解析 由u －t 图象知：T a ∶T b ＝2∶3，故两次转速之比为3∶2，选项A 正确，B 错误；对交变电流a ：U m ＝10 V ，T a ＝0.4 s ，则ωa ＝5π rad/s，故u ＝U m sin(ωa t )V ＝10sin(5πt )V ，选项C 正确；由E m ＝nBSω，且ωa ∶ωb ＝T b ∶T a ＝3∶2知，E m b ＝23E m a ＝203 V ，选项D 正确.答案 ACD(1)由图象可直接获得的信息有：①该交变电流的最大值、周期；②任意时刻交变电流的数值.(2)掌握角速度ω、周期T 、转速n 的关系.ω＝2πT ；ω＝2πn ；n ＝1T.二、峰值和有效值1.峰值：交变电流的电压、电流所能达到的最大数值. (1)表达式：E m ＝nBSω.(2)应用：电容器所能承受的电压应高于(选填“高于”或“低于”)交流电压的峰值，否则电容器就可能被击穿.2.有效值：让交流和恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交流的一个周期内，它们产生的热量相等，而这个恒定电流是I 、电压是U ，我们就把I 、U 叫做这个交流的有效值. (1)正弦式交变电流有效值和最大值的关系：E ＝E m2；U ＝U m 2；I ＝I m2. (2)应用：电气设备铭牌上标注的额定电压、额定电流都是有效值.交流电压表和交流电流表测量的也是有效值.(3)计算：①对于正弦式交变电流，可先根据E m ＝nBSω求出最大值，然后根据E ＝E m2求出其有效值.②当电流是非正弦式交变电流时，必须根据有效值的定义求解.先计算交变电流在一个周期内产生的热量Q ，再将热量Q 用相应的物理量的有效值表示Q ＝I 2RT 或Q ＝U 2RT ，最后代入数据求解有效值.深度思考(1)交变电流的有效值是根据什么定义的？定义中包含三个“相同”具体指的是什么？ (2)交变电流的有效值是否等于其在一段时间内的平均值？答案 (1)交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的；定义中应特别注意三个“相同”，即相同电阻、相同时间、相同热量.(2)不是，有效值是根据电流的热效应定义的，不同于平均值.例如，线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴转动一周时，其平均值为零，但有效值不为零.例2 通过一阻值R ＝100 Ω的电阻的交变电流如图2所示，其周期为1 s.电阻两端电压的有效值为( )图2A.12 VB.410 VC.15 VD.8 5 V解析 根据电流的热效应先计算电流的有效值.由(0.1 A)2R ×0.4 s×2＋(0.2 A)2R ×0.1 s×2＝I 2R ×1 s，可得流过电阻的电流的有效值I ＝1025A ，再由电阻两端电压的有效值为U ＝IR ＝410 V ，可得B 正确.答案 B对于非正弦式交变电流的有效值，应按有效值的定义计算，计算时要紧扣电流通过电阻产生的热量进行计算，计算时间一般取一个周期，半周期对称的可取半周期.针对训练 如图3所示的交变电流由正弦式交变电流的一半和反向脉冲电流组合而成，则这种交变电流的有效值为( )图3A.12I 0B.22I 0C.32I 0 D.I 0 答案 C解析由i－t图象知交变电流的周期T＝2 s.一个周期内：前半个周期电流的有效值：I1＝I02，后半个周期电流的有效值：I2＝I0.设交变电流的有效值为I ，据交变电流有效值的定义有I2RT＝I21RT2＋I22RT2＝⎝⎛⎭⎪⎫I022R·T2＋I20RT2，解得I＝32I0.故选项C正确.(1)若一个交变电流存在几种形式，可在一个周期内分段求出产生的热量，求其和.(2)若图象是正弦(或余弦)式交变电流，其中的14和12周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝I m2，U＝U m2求解.三、交变电流的“四值”物理含义重要关系适用情况瞬时值交变电流某一时刻的值e＝E m sin ωti＝I m sin ωt计算线圈某一时刻的受力情况最大值最大的瞬时值E m＝nBSωI m＝E mR＋r确定用电器的耐压值有效值跟交变电流的热效应等效的恒定电流值E＝E m2U＝U m2I＝I m2(正弦式交变电流)(1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量)(2)交流电表的测量值(3)电气设备标注的额定电压、额定电流(4)保险丝的熔断电流平均值E＝nΔΦΔtI＝ER＋r计算通过电路横截面的电荷量例3如图4所示是某种正弦式交流电压的波形图，由图可确定该电压的( )图4A.周期是0.01 sB.最大值是311 VC.有效值约是220 VD.瞬时值表达式为u ＝220sin (100πt )V解析 由交流电压的图象知，周期是0.02 s ，A 项错；最大值是311 V ，B 项正确；有效值约是220 V ，C 项正确；瞬时值表达式为u ＝311sin(100πt )V ，D 项错误. 答案 BC例4 如图5所示，矩形线圈abcd 在磁感应强度B ＝2 T 的匀强磁场中绕轴OO ′以角速度ω＝10π rad/s 匀速转动，线圈共10匝，电阻r ＝5 Ω，ab ＝0.3 m ，bc ＝0.6 m ，负载电阻R ＝45 Ω.图5(1)写出从图示位置开始计时的线圈中感应电动势的瞬时值表达式. (2)求电阻R 在0.05 s 内产生的热量.(保留两位有效数字)(3)求0.05 s 内流过电阻R 上的电荷量(设线圈从垂直中性面开始转动). 解析 (1)电动势的最大值为E max ＝nBSω＝10×2×0.3×0.6×10π V＝113.04 V由于从线圈平面经过与磁感线平行的位置开始计时，交变电流为最大值，故瞬时值表达式e ＝E max ·cos ωt ＝113.04cos(10πt )V(2)电流的有效值I ＝I max2＝E max2(R ＋r )≈1.6 A所以0.05 s 内R 上产生的热量Q ＝I 2Rt ＝5.76 J (3)平均感应电动势为E ＝nΔΦΔt＝72 V平均感应电流为I ＝ER ＋r＝1.44 A所以通过电阻R 的电荷量为q ＝I ·t ＝0.072 C.答案 (1)e ＝113.04cos(10πt )V (2)5.76 J (3)0.072 C求解热量与电荷量的思路： (1)求解热量用有效值，按以下思路.电动势最大值→电流最大值→电流有效值→焦耳定律 (2)求解电荷量用平均值，按以下思路.平均电动势→平均电流→根据q ＝I Δt 求电量→得出q ＝n ΔΦR ＋r四、相位和相位差1.定义：正弦式交变电流u ＝U m sin(ωt ＋φ)，其中“ωt ＋φ”叫作交变电流的相位.两支交流的相位之差叫作它们的相位差.2.正弦式交流电u 1＝U m sin(ωt ＋φ1)和u 2＝U m sin(ωt ＋φ2)的相位差是φ1－φ2. 深度思考两个交变电流的相位不同，反映了什么问题？答案 两个交变电流的相位不同，反映了两个交变电流变化的步调不同.例5 有两支交变电流的表达式分别是：u 1＝1102sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 V ，u 2＝2202sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π4 V.下列说法正确的是( )A.它们的峰值相同B.它们的周期相同C.它们的相位差恒定D.它们的变化步调一致解析 u 1代表的交流电的电压峰值为110 2 V ，角速度为ω＝2πf ＝100π，则频率f ＝50 Hz ；初相位为π3.u 2代表的交流电的电压峰值为220 2 V ，角速度为ω＝2πf ＝100π，则频率f ＝50 Hz ；初相位为π4.由于它们的频率相同，所以它们的周期相同且相位差恒为π3－π4＝π12. 答案 BC1.(描述交变电流的物理量)小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间成正弦函数关系，如图6所示，此线圈与一个R ＝10 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻.下列说法正确的是( )图6A.交变电流的频率为8 HzB.交变电流的有效值为 2 AC.交变电流的最大值为4 AD.电流的瞬时值表达式为i ＝2sin(4πt )A 答案 B解析 由e －t 图象可知，交变电流的周期为0.25 s ，故频率为4 Hz ，选项A 错误；根据欧姆定律可知交变电流的最大值为2 A ，故有效值为 2 A ，选项B 正确，C 错误.因ω＝2πf ＝8π，故电流的瞬时值表达式为i ＝2sin(8πt )A ，故选项D 错误.2.(交变电流有效值的计算)如图7所示是一交变电流随时间变化的图象，求此交变电流的有效值.图7答案 5 A解析 设该交变电流的有效值为I ，让该交变电流和直流电分别通过同一电阻(阻值为R )，在一个周期(T ＝0.2 s)内，该交变电流产生的热量：Q ′＝I 21Rt 1＋I 22Rt 2 在一个周期内直流电通过该电阻产生的热量Q ＝I 2RT由Q ＝Q ′，代入数据，解得I ＝5 A.3.(交变电流有效值的应用)一个小型电热器若接在输出电压为10 V 的直流电源上，消耗电功率为P ；若把它接在某个正弦交流电源上，其消耗的电功率为P2.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为( ) A.5 V B.5 2 V C.10 V D.10 2 V 答案 C解析 设电热器电阻为R ，正弦交流电源的电压有效值为U 效，接10 V 直流电源时，P ＝U 2R＝102R ；接交流电源时P 2＝U2有效R ，联立得U 有效＝5 2 V ，故电压最大值U m ＝2U 有效＝10 V ，选项C 正确.4.(最大值、有效值和平均值的区别及应用)如图8所示，单匝矩形闭合导线框abcd 全部处于磁感应强度为B 的水平匀强磁场中，线框面积为S ，电阻为R .线框绕与cd 边重合的竖直固定转轴以角速度ω匀速转动，线框中感应电流的有效值I ＝ .线框从中性面开始转过π2的过程中，通过导线横截面的电荷量q ＝ .图8答案2BSω2R BSR解析 感应电动势最大值E m ＝BSω，感应电动势的有效值E ＝E m2，感应电流的有效值I ＝ER ＝2BSω2R ，q ＝I Δt ＝E R Δt ＝ΔΦR Δt Δt ＝ΔΦR ＝BSR.题组一 对描述交变电流物理量的认识 1.下列提到的交流电，不是指有效值的是( ) A.交流电压表的读数 B.保险丝熔断电流 C.电容器击穿电压 D.220 V 交流电压答案 C解析 电容器击穿电压指电容器两端允许加的电压的最大值. 2.下列关于交变电流的说法正确的是( ) A.若交变电流的峰值为5 A ，则它的最小值为－5 A B.用交流电流表测交变电流时，指针来回摆动C.我国工农业生产和生活用的交变电流频率为50 Hz ，故电流方向每秒改变100次D.正弦交变电流i ＝20sin (10πt ) A 的峰值为20 A ，频率为100 Hz 答案 C解析 电流的负值表示电流方向与原来方向相反，不表示大小，A 项错误；交流电流表测交变电流时，指针不会来回摆动，B 项错误；我国工农业生产和生活用的交变电流的周期为0.02 s ，交流电方向一个周期改变两次，所以每秒改变100次，C 项正确；由ω＝2πf 得正弦交变电流i ＝20sin (10πt ) A 的频率为5 Hz ，D 项错误.3.(多选)某小型发电机产生的感应电动势为e ＝50sin (100πt )V.对此电动势，下列表述正确的有( ) A.最大值是50 2 V B.频率是100 Hz C.有效值是25 2 V D.周期是0.02 s答案 CD解析 从中性面开始计时，感应电动势的表达式为e ＝E m sin(ωt )V ，因e ＝50sin (100πt )V ，所以最大值E m ＝50 V ，A 错误；由ω＝2πf ＝100π rad/s 得f ＝50 Hz ，B 错误；有效值E ＝E m2＝25 2 V ，C 正确；T ＝1f ＝0.02 s ，D 正确.4.(多选)图1甲、乙分别表示两种电压的波形，其中图甲所示电压按正弦规律变化，下列说法正确的是( )图1A.图甲表示交流电，图乙表示直流电B.两种电压的有效值相等C.图甲所示电压的瞬时值表达式为u ＝311sin (100πt ) VD.两种电压的周期相同 答案 CD解析 图甲、乙都表示交流电，图甲中有效值U ＝3112V≈220 V，而图乙中的有效值不存在这一关系，所以它们的有效值不相同.由图甲看出T ＝2×10－2s ，ω＝2πT＝100π rad/s，所以u ＝311sin (100πt ) V.由图象可知两种电压的周期都是2×10－2s. 题组二 非正弦式交流电有效值的计算5.阻值为1 Ω的电阻上通以交变电流，其it 关系如图2所示，则在0～1 s 内电阻上产生的热量为( )图2A.1 JB.1.5 JC.2 JD.2.8 J 答案 D解析 因为所加的电流为交变电流，大小在变化，所以只能分时间段来求热量.在0～1 s 内有效电流为1 A 和2 A 的时间段分别为t 1＝0.4 s ，t 2＝0.6 s ，所以Q ＝I 21Rt 1＋I 22Rt 2＝2.8 J.6.(多选)如图3甲所示为电热毯电路示意图，交流电压u ＝311sin 100πt (V)，当开关S 接通时，电热丝的电功率为P 0；当开关S 断开时，加在电热丝上的电压如图乙所示，则( )图3A.开关接通时，交流电压表的读数为220 VB.开关接通时，交流电压表的读数为311 VC.开关断开时，交流电压表的读数为311 V ，电热丝功率为P 02D.开关断开时，交流电压表的读数为156 V ，电热丝功率为P 02答案 AD解析 当S 接通时，加在电热丝上的瞬时电压u ＝311sin 100πt (V).所以电热丝两端的有效电压U 1＝U m2＝3112V≈220 V，故A 正确，B 错误. 当S 断开时，前半个周期内所加电压不变，但后半个周期内U 2＝0，所以电热丝的功率P ＝12P 0.设此时交变电压的有效值为U 2′，由U 2′2R ＝12·U 21R 得U 2＝U 12≈156 V，即电压表的读数为156 V ，故D 正确，C 错误.7.如图4甲所示，调光台灯是通过双向可控硅电子器件来实现无级调节灯的亮度的.现将某无级调光台灯接在220 V 的正弦交变电流上，经过可控硅调节后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时电压表的示数是( )图4A.220 VB.156 VC.110 VD.78 V 答案 B解析 虽然图示电流不是正弦交变电流，根据正弦式交变电流的图象对称性可知，只要有14T的图线就满足最大值是有效值的 2 倍，根据电流有效值定义有：U 2R T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫U m 2R2·T2. 解得U ＝110 2 V≈156 V，故B 对. 题组三 正弦式交流电有效值的理解和应用8.一个照明电灯，其两端允许加的最大电压为311 V.当它接入220 V 的照明电路时，这盏灯( ) A.将不亮 B.灯丝将烧断 C.只能暗淡发光 D.能正常发光答案 D解析 220 V 的照明电路其有效值为220 V ，最大值为311 V ，正好适合.9.把一只电热器接在100 V 的直流电源上，在t 时间内产生的热量为Q ，若将它分别接到U 1＝100sin(ωt )V 和U 2＝50sin(2ωt )V 的交流电源上，仍要产生Q 的热量，则所需时间分别是( )A.t ，2tB.2t ，8tC.2t ，2tD.t ，4t 答案 B解析 计算电热器在t 时间内产生的热量时应该用电压的有效值，对U 1＝100sin(ωt )V ，电压的有效值为1002 V ，故(100)2R t ＝(1002)21Rt ′，所以t ′＝2t ；对U 2＝50sin(2ωt )V ，电压的有效值为502 V ，故(100)2R t ＝(502)21Rt ″，所以t ″＝8t .10.电阻R 1、R 2与交流电源按照图5甲所示的方式连接，R 1＝10 Ω，R 2＝20 Ω.合上开关S 后，通过电阻R 2的正弦交变电流i 随时间t 变化的情况如图乙所示，则( )图5A.通过R 1的电流有效值是1.2 AB.R 1两端的电压有效值是6 VC.通过R 2的电流最大值是625 AD.R 2两端的电压最大值是6 2 V 答案 B解析 R 1与R 2串联，R 1与R 2中的电流变化情况应相同，电流有效值I 1＝I 2＝0.6 A ，电流最大值I 1m ＝I 2m ＝325 A ，电压有效值U 1＝I 1R 1＝6 V ，U 2＝I 2R 2＝12 V ，电压最大值U 1m ＝2U 1＝6 2 V ，U 2m ＝2U 2＝12 2 V.综上所述，B 项正确. 题组四 瞬时值、峰值、有效值、平均值的区别及应用11.(多选)如图6所示，有一矩形线圈，面积为S ，匝数为n ，整个线圈的电阻为r ，在磁感应强度为B 的磁场中，线圈绕OO ′轴以角速度ω匀速转动，外电阻为R ，当线圈由图示位置转过90°的过程中，下列说法中正确的是( )图6A.磁通量的变化量为ΔΦ＝nBSB.平均感应电动势为E ＝2nBSωπC.电阻R 所产生的焦耳热为Q ＝(nBSω)22RD.通过电阻R 的电荷量为q ＝nBSR ＋r答案 BD解析 逐项分析如下： 选项 诊断结论 A线圈在图示位置时磁通量Φ＝0，转过90°后磁通量Φ′＝BS ，该过程中磁通量的变化量为ΔΦ＝Φ′－Φ＝BS ，与线圈匝数无关 ×B该过程中所用时间Δt ＝θω＝π2ω，所以平均感应电动势E ＝n ΔΦΔt＝2nBSωπ√C电路中的感应电流有效值I ＝ER ＋r＝nBSω2(R ＋r )，所以电阻R 所产生的焦耳热Q ＝I 2R Δt ＝πRωn 2B 2S 24(R ＋r )2 ×D电路中的感应电流的平均值I ＝ER ＋r ＝2nBSωπ(R ＋r )，所以通过电阻R 的电荷量q ＝I ·Δt ＝nBSR ＋r√电流的瞬时值表达式.图7答案 2 A 0.02 s 100π rad/s i ＝2sin (100πt ) A解析 由题图可知，交变电流的周期为T ＝0.02 s ，角速度为ω＝2πT＝100π rad/s故其瞬时值表达式为i ＝I m sin (100πt ) A 当t ＝0.002 5 s 时，i ＝ 2 A所以I m sin (100π×0.002 5) A＝ 2 A ，解得I m ＝2 A 所以i ＝2sin (100πt ) A13.如图8所示，边长为l 的正方形线圈abcd 的匝数为n ，线圈电阻为r ，外电路的电阻为R ，ab 的中点和cd 的中点的连线OO ′恰好位于匀强磁场的边界上，磁感应强度为B ，现在线圈以OO ′为轴，以角速度ω匀速转动，求：图8(1)闭合电路中电流瞬时值的表达式.(2)线圈从图示位置转过90°的过程中电阻R 上产生的热量. (3)线圈从图示位置转过90°的过程中电阻R 上通过的电荷量. (4)电阻R 上的最大电压.答案 (1)nBl 2ω2(R ＋r )sin(ωt ) A (2)n 2πB 2l 4ωR16(R ＋r )2(3)nBl 22(R ＋r ) (4)nBl 2ωR2(R ＋r )解析 (1)线圈转动时，总有一条边切割磁感线，且ad 边和bc 边转动的线速度大小相等，当线圈平行于磁场时，产生的感应电动势最大，为E m ＝nBlv ＝nBl ·ω·12l ＝12nBl 2ω.由闭合电路欧姆定律可知I m ＝nBl 2ω2(R ＋r )，当以图示位置为计时起点时，流过R 的电流表达式为i ＝I m sin(ωt ) A ＝nBl 2ω2(R ＋r )sin(ωt )A.(2)在线圈由图示位置匀速转过90°的过程中，用有效值来计算电阻R 上产生的热量Q ＝I 2R ·T 4，其中I ＝I m2＝nBl 2ω22(R ＋r )，T ＝2πω，即Q ＝I 2R ·T 4＝n 2πB 2l 4ωR16(R ＋r )2.(3)在转过90°的过程中感应电动势的平均值为 E ＝n ΔΦΔt ＝12nBl2π2ω＝nBl 2ωπ，流过R 的平均电流I ＝ER ＋r ＝nBl 2ωπ(R ＋r )，所以流过R 的电荷量q ＝I ·T4＝nBl 2ωπ(R ＋r )·π2ω＝nBl 22(R ＋r ).(4)由部分电路欧姆定律可知电阻R 上的最大电压为U m ＝I m R ＝nBl 2ωR2(R ＋r ).。