热传导方程的模型
一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热能就要向温度较低的点处流动，称为热传导。

由于热能的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的变化，故问题归结为求物体内温度的分布。

在三维直角坐标系下，假设在时刻t点x
M的温度为),,,(t z y x u，考虑一个区域的y
,
)
,
(z
温度，为此，在物体中任取一闭曲面S，它所包围的区域记作V（如图），n为曲面S 的法向（从V内指向V外）。

由热传学中的Fourier 实验定律可知：物体在无穷小时间段dt 内流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与时间段dt 、曲面面积dS ，以及物体温度u 沿法线方向的方向导数n u ∂∂三者成正比,即
dSdt n
u k dQ ∂∂-= dSdt u grda k n )(-=
dt S d u grda k ⋅-=
其中),,(z y x k k =称为物体的热传导系数
(0≥k )，当物体均匀且各向同性时，k 为常数。

式中负号出现是由于热量的流向与温度梯度的正向相反。

从时刻1t 到时刻2t ，通过曲面S 流入区域V 的全部热量为
⎰⎰⎰∂∂=2
11t t S
dSdt n u k Q ⎰⎰⎰⋅=21t t S dt S d u grad k 利用奥高公式 dxdydzdt z u k z y u k y x u k x t t ⎰⎰⎰⎰Ω⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂21
)()()(
流入的热量使V 内温度发生了变化，在时间间隔],[21t t 内区域V 内各点温度),,,(1t z y x u 变化到),,,(2t z y x u ，则在时间间隔
],[21t t 内V 内温度升高所需的热量为：
[]dxdydz t z y x u t z y x u c Q ⎰⎰⎰Ω
-=),,,(),,,(122ρ ⎰⎰⎰⎰Ω∂∂=21t t dtdxdydz t
u c ρ 其中c 为物体的比热，ρ为物体的密度，对均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。

由于热量守恒，故21Q Q =，即021=-Q Q 。

交换积分次序,得 0)()()(21=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰Ωdxdydzdt z u k z y u k y x u k x t u c t t ρ 由于时间间隔],[21t t 及区域Ω是任意取的，并且被积函数是连续的，得到
)]()()([1z
u k z y u k y x u k x c t u ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ρ 如果物体是均匀的,即k c ,,ρ为常数，得到方程：
)(2222222z
u y u x u a t u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂
其中ρc k a =2。

该方程称为三维的热传导方
程。

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