y
M(1, 3)
.θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3)
设点M的极坐标为(ρ,θ)

M ( 2, 3 )
12 （ 3）2 2 tan 3 3
1
极坐标与直角坐标的互化关系式:
y
M
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
ρ
θ
y
互化公式的三个前提条件：
Ox
x
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
知识回顾
正弦、余弦、正切的三角函数值
θ
sinθ cosθ tanθ

0 64
01
2
22
1 32
22
0
3 3
1
2 3 5
3 3
因为点在第三象限, 所以 7
6
因此, 点M的极坐标为(2, 7 )
6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3 ) C (5,0)
B (1, 3)
D (0,2)
E (3,3)

2
1的、长已度知。A（3，6 ），B（4， 3 ），求线段AB


如果上题中的坐标改为A（3， ），B（5， ）呢？
2、在极坐标系中,O是极点，设点A(4,
3
4
)，B(5,
5
12
)，则
△OAB的面积是_5___3__，|AB|= ___2__1_ 。
探究新知
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位

M（3，4
），N（3，-

4
5
），G（3，4
）H（3，34
）
并比较M与N，M与G，M与H之间的位置关系。 活动探究一：
在极坐标系中， ①点（,）与点（,-）关于 极轴 对称；
②点（,）与点（, π + ）关于 极点 对称
③点（,）与点（, π - ）关于过极点与极轴垂直的直线 对称
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有
无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。
[3]极坐标 ( , )与 ( , 2 k )( k Z ) 表示同一个点。
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的 点和极坐标就可以 一一对应了.
基础练习
1.在极坐标系中标出下列点的位置：
6
3
你能给出极坐标系下的两点间的距离公式么？
若
A（1，1），B（2，
），
2
除了你已经使
则 | AB| 12 22 212 cos(1 2 )
用的方法以外， 你还会用其他 方法解决么？
M
的角O度X到，OM叫做点M的 ， 叫
做点极M径的 ，有序数对极角就叫

做M的极（坐标，。）
O
X
（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取 任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可 取任意值。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。
知识回顾
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做 极点 。
引一条射线OX，叫做 极轴 。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 。 （通常取 逆时针 方向）。
O
这样就建立了一个 极坐标系 。
X
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表
示线段 OM的长度，用 表示从
32 3 4 6
31
2
32 22
10 2
1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
3 不存在 3 1 3 0
3
例题分析
例1. 将点M (5, 2 )的极坐标化成直角坐标.
3
解:
2 5 3
32
所以, 点M的直角坐标为( 5 , 5
3 )
22
课堂练习
1、已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
A (3, )
6

B (2, ) 2
C (1, )
2
D ( 3 , ) E (2, 3 )
24
4
例2. 将点M ( 3,1)的直角坐标化成极坐标.
解: ( 3)2 （ 1）2 2
tan 1 3