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正弦定理经典题型总结

正弦定理经典题型总结
知识总结
一、正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
公式适用于任意三角形。

二、正弦定理的变形
三、三角形面积公式
在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2
1sin 2
1sin 2
1==
四、正弦定理解三角形
1)已知两角和任意一边,求其它两边和一角;
2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。

例如:已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(多解情况)

1若A 为锐角时: ⎪⎪⎩
⎪⎪

⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )
( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a
b
a
b
a
b a b
a
a 已知边a,
b 和∠A
仅有一个解有两个解
仅有一个解无解
a ≥
b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA
A
C B A
C
B1A
B
A
C
B2
C
H
H
H

2若A 为直角或钝角时:⎩
⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解
b a
题型一:已知两角及任意一边解三角形
1.在△ABC 中,A =45°,B =60°,a =2,则b 等于( )
A.
6 B.
2 C.
3 D .2
6
2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )
A .4
2 B .4
3 C .4
6 D.32
3
3.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,
则c =( )
A .1 B.1
2 C .2
D.14
变形:
题型二:已知两边及一边对角解三角形
1.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =4
3,b =4
2,则角
B 为( )
A .45°或135°
B .135°
C .45°
D .以上答案都不对 2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =
6,B =120°,则a 等
于( )
A.
6 B .2 C.
3 D.
2
3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π
3
,则A
=________.
4 .在△ABC 中,已知a =4
33
,b =4,A =30°,则sin B =________.
5.在△ABC 中,b =4
3,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.
6. 判断满足下列条件的三角形个数 (1)b=39,c=54,︒
=120C 有________组解 (2)a=20,b=11,︒
=30B 有________组解 (3)b=26,c=15,︒=30C 有________组解 (4)a=2,b=6,︒
=30A 有________组解
7.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________. 8.在△ABC 中,B=4
π
,b=2,a=1,则A 等于 .
题型三:正弦定理的边角转化
1.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A .1∶5∶6
B .6∶5∶1
C .6∶1∶5
D .不确定 2.在△ABC 中,若cos A cos B =b
a
,则△ABC 是( )
A .等腰三角形
B .等边三角形
C .直角三角形
D .等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC 中,如果
C
c
B b A a tan tan tan =
=,那么△ABC 是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
3. 在△ABC 中,已知b B a 3sin 32=,且cosB=cosC ,试判断△ABC 形状。

题型四:已知面积求角/边或已知边角求面积 三角形正弦面积公式:
B ac A bc
C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
(适用于任意三角形) 1. 在△ABC 中,已知B=︒30,AB=23,AC=2,求△ABC 面积。

2. 在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2asinB 。

(1)证明A=2B
(2)若△ABC 的面积S=4
2
a ,求角A 的大小。

3. (结合余弦定理)
在ABC ∆中,60,1A b ︒
==,则
sin sin sin a b c
A B C
++=++_________
题型五:求三角形最值或取值范围的应用
1. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边a,b,c ,满足csinA=acosC. (1)角C 大小 (2)求)4
π
cos(sin 3+
-B A 的最大值,并求出最大值时A,B 的大小。

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