圆过定点问题(非常好)
圆过定点问题
班级_________________姓名_______________
的距离的倍，
：+y
）上点
：交于足=，设动点
2015年03月12日yinyongxia100的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共1小题）
1．已知定点G（﹣3，0），S是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E 的轨迹为M．
（1）求M的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
6
，由
y=x2
|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6
6由
3
﹣，=
∴=0
=﹣m=
33
y=x2
二．解答题（共12小题）
2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．
（Ⅰ）判断圆C
1与圆C2的位置关系；
（Ⅱ）若动圆C同时平分圆C
1的周长、圆C2的周长，则动
圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
|=，
即
由
或
﹣﹣1+2+
3．已知定点A（﹣2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到
定直线l
的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E
上的任一点，直线AC与BC分别交直线l与点P，Q．（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．
e=
，
（除去（±
，
=，∴，∴=
，令=∴==
==
在椭圆上，∴∴
4．如图，已知椭圆C ：+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N，
（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k
1、k2，求证：k1•k2为
定值；
（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
：+y
=，=
+y
=•=﹣
2+2）
2）
+
﹣
12+
2
2+2
2）
5．如图所示，已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N．（1）求圆C的方程；
（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．
）∵，
∴
∴
y=
，得（，）
，
=
=
y=x+
令，得
6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．
（1）求实数c的取值范围；
（2）求⊙C的方程；
（3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论．
﹣x+=0
，）和（，
＜
﹣x+
﹣，F=；
+cE+﹣，﹣x c+y+=0，）和（，﹣c+
y+=0y=，解得：或，，）和（，
7．如图，抛物线M ：y=x 2+bx （b ≠0）与x 轴交于O ，A 两点，交直线l ：y=x 于O ，B 两点，经过三点O ，A ，B 作圆C ．
（I ）求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； （II ）求证：圆C 经过除原点外的一个定点；
（III ）是否存在这样的抛物线M ，使它的顶点与C 的距离不大于圆C 的半径？
出
则⇒，﹣﹣，∴
恒成立，∴⇒或
，﹣）
﹣|≤
8．在平面直角坐标系xoy中，点M到两定点F1（﹣1，0）
和F
2（1，0）的距离之和为4，设点M的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于不同两点A、B（A、B不是曲线C和坐标轴的交点），以AB为直径的圆过点D （2，0），试判断直线l是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
=
的方程为；
﹣，=
=
∴
﹣，均满足△
﹣﹣）（，
过定点，定点坐标为（
9．（2013•温州二模）如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：
交于A，C两点，A．C在x轴两侧，B，
D是圆C2：x2+y2=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同．纵坐标同号．
（I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围；
（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．
，消掉得
⇒
由
则
+1=
∴
=2k
10．已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；
（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
）
离
∴=
）假设存在，联立方程得
=
．∴
11．已知定直线l：x=﹣1，定点F（1，0），⊙P经过F且与l相切．
（1）求P点的轨迹C的方程．
（2）是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由．
，
，∴
12．已知动圆P与圆M：（x+1）2+y2=16相切，且经过M内的定点N（1，0）．
（1）试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）设O是轨迹C上的任意一点（轨迹C与x轴的交点除外），试问在x轴上是否存在两定点A，B，使得直线OA与OB的斜率之积为定值（常数）？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．
．
，则
=
﹣
13．（2010•盐城二模）已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方．
（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．
=2R
，故所求椭圆的方程为=2R，即
，消去。