实用标准文档圆过定点问题班级__________________ 姓名________________. . 2 2 . .1.已知定点G (- 3, 0), S是圆C: (X- 3) +y=72 (C为圆心)上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E.设点E的轨迹为M.(1 )求M的方程；(2)是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A, B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2 2 2 22.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C i： (x+1) +y =1，圆C2: (x- 3) + (y - 4) =1.(I)判断圆C1与圆C的位置关系；(n)若动圆C同时平分圆C1的周长、圆C的周长，则动圆c是否经过定点？若经过，求出定点的坐标; 若不经过，请说明理由.3 .已知定点A (- 2, 0), B (2, 0),及定点F ( 1, 0),定直线I : x=4，不在x轴上的动点M到定点F 的距离是它到定直线I的距离的+倍，设点M的轨迹为E,点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线I与点P, Q(1)求点M的轨迹E的方程；(2)试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F,并说明理由.文案大全4.如图，已知椭圆C: 一'「+y =1的上、下顶点分别为A B,点P在椭圆上，且异于点A、B,直线AP BP4与直线I : y= - 2分别交于点M N,(i)设直线AP BP的斜率分别为k i、k2，求证：k i? k2为定值；(ii)当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.5•如图所示，已知圆C: x2+y2=r2(r >0)上点(1, 価)处切线的斜率为-亜，圆C与y轴的交点分3别为A, B,与x轴正半轴的交点为D, P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M直线DP与y轴相交于点N.(1)求圆C的方程；(2)试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.26.二次函数f (x) =3x - 4x+c (x€ R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为O C.(1)求实数c的取值范围；(2)求0 C的方程；(3)问0 C是否经过某定点(其坐标与c的取值无关)？请证明你的结论.27.如图，抛物线M y=x +bx (b^ 0)与x轴交于O, A两点，交直线l : y=x于O, B两点，经过三点O, A, B作圆C.(I )求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；(II )求证：圆C经过除原点外的一个定点；(III )是否存在这样的抛物线M使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？&在平面直角坐标系 xoy 中，点M 到两定点F i (- 1, 0)和F 2 (1, 0)的距离之和为4,设点M 的轨迹是 曲线C. (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线I : y=kx+m 与曲线C 相交于不同两点 A B (A 、B 不是曲线C 和坐标轴的交点)，以AB 为直径 的圆过点D( 2, 0)，试判断直线I 是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.2 29.如图.直线I : y=kx+1与椭圆G:丄+丫一二1交于A, C 两点，A. C 在x 轴两侧,16 4B , D 是圆C 2： x 2+y 2=16上的两点.且 A 与B . C 与D 的横坐标相同，纵坐标同号. (I )求证：点B 纵坐标是点A 纵坐标的2倍，并计算||AB| - |CD||的取值范围； (II )试问直线BD 是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由.10.已知 A (- 1, 0) , B (2, 0),动点 M (x , y )满足(1) 求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹 C 是什么图形； (2) 求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3) 设直线I : y=x+m 交轨迹C 于P, Q 两点，是否存在以线段 PQ 为直径的圆经过 A ?若存在，求出实数 m 的值；若不存在，说明理由.11.已知定直线I : x= - 1,定点F (1, 0), O P 经过F 且与I 相切.(1 )求P 点的轨迹C 的方程.□,丄，设动点M 的轨迹为C.(2)是否存在定点M,使经过该点的直线与曲线C交于A B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.2 212.已知动圆P与圆M (x+1) +y =16相切，且经过M内的定点N( 1, 0).(1 )试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；)设0是轨迹C上的任意一点(轨迹C与x轴的交点除外)，试问在x轴上是否存在两定点A, B,使得直线0A与0B 的斜率之积为定值(常数)？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由.13 .已知在厶ABC中，点A B的坐标分别为(-2, 0)和(2, 0),点C在x轴上方.(I)若点C的坐标为(2, 3),求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(H)若/ ACB=45，求△ ABC的外接圆的方程；(川)若在给定直线y=x+t上任取一点P,从点P向(H)中圆引一条切线，切点为Q.问是否存在一个定点M恒有PM=PQ请说明理由.2015年03月12日yinyongxialOO 的高中数学组卷参考答案与试题解析一•填空题(共1小题). . 2 2 . .1.已知定点 G (- 3, 0) , S 是圆C: ( X - 3) +y =72 (C 为圆心)上的动点， SG 的垂直平分线与 SC 交于点E.设点 E 的轨迹为M.(1) 求M 的方程；(2) 是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线 M 相交于A, B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在， 求出直线的方程；若不存在，请说明理由.考点： 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析： (1)由已知条件推导出点 E 的轨迹是以G, C 为焦点，长轴长为的椭圆，由此能求出动点 E 的轨迹方 程.(2) 假设存在符合题意的直线 l 与椭圆C 相交于A( X 1,yJ,B( X 2, y 2)两点，其方程为y=x+m, 由/ 严 ,118+T =1得3x+4mx+2m- 18=0.由此能求出符合题意的直线1存在，所求的直线1的方程为或y=x -.解答： 解：(1)由题知 |EG|=|ES| ,• |EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6 西. 又•••师|=6＜晰,•••点E 的轨迹是以G C 为焦点，长轴长为 6妊的椭圆，(2)假设存在符合题意的直线 I 与椭圆C 相交于A (X 1, y 1), B (X 2, y 2)两点,其方程为y=x+m,•••直线l 与椭圆C 相交于A , B 两点,2 2• △ =16m - 12 (2m - 18)> 0, 化简得 m k 27,解得-3「；.•••( 6 分)•••以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，• r" =0,所以 X 1X 2+y 1y 2=0.…(8 分)2动点 消去y ，化简得 2 23x +4mx+2m- 18=0.X 1+X 2=-4rr ~3xg — E 的轨迹方程为又y1y2= (x计m) (X2+m =X1X2+m (X1+X2) +m,x i X 2+y i y 2=2x i X 2+m (X 1+X 2) +吊 J ___________ : — +nn=0,33解得 m=_ I ［：..•••( 11 分) 由于一「. (—3：3：;),•••符合题意的直线I 存在， 所求的直线I 的方程为y=x + l 或y=x - 2： ;.•••( 13分)点评：本题考查点的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用.二.解答题(共12小题)2 2 2 22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 Ci : (x+1) +y =1，圆C 2: (x - 3) + (y - 4) =1.(I) 判断圆C1与圆Q 的位置关系；(H)若动圆 C 同时平分圆 G 的周长、圆C 2的周长，则动圆 C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经 过，请说明理由.考点：直线和圆的方程的应用. 专题：直线与圆. 分析：(I)求出两圆的圆心距离，即可判断圆G与圆C2的位置关系；(n)根据圆 C 同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论.解答： 解：(I) G: (x+1) 2+y 2=1 的圆心为(-1, 0)，半径 r=1，圆 C 2： (x - 3) 2+ (y - 4) 2=1 的圆心为(3, 4), 半径R=1,则 ICQF J _ 3 ］件护二二,•••圆C 1与圆C 2的位置关系是相离.整理得x+y - 3=0,即圆心C 在定直线x+y - 3=0上运动. 设 C ( m 3 - m ), 则动圆的半径「' : ：T- ' ■ - T I. . 2 2 2 2于是动圆 C 的方程为(x - nr) + (y - 3+m ) =1+ ( m+1) + (3 - m ),22整理得：x+y - 6y - 2- 2m (x - y+1) =0.--警 尸2-罟即所求的定点坐标为(1-匸2-解得(n)设圆心 C (x , y )，由题意得 CG=CG ,(I - 2< ).点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考查学生的计算能力.3.已知定点A (- 2, 0), B (2, 0),及定点F (1, 0),定直线I : x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线I 的距离的丄倍，设点M的轨迹为E,点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线I与点P, Q(1)求点M的轨迹E的方程；(2)试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F,并说明理由.1O■X考点：轨迹方程；圆的标准方程.专题：直线与圆.分析：(1)由椭圆的第二定义即可知道点M的轨迹E为椭圆；(2)设出椭圆上的点C的坐标，进而写出直线AC BC的方程，分别求出点P、Q的坐标，只要判断k pF? k QF： -1是否成立即可.解答：解：(1)由椭圆的第二定义可知：点M的轨迹E是以定点F (1, 0)为焦点，离心率e=，直线I : x=4为准线的椭圆(除去与x轴相交的两2点).••• c=1,卫亠，••• a=2, b2=22- 12=3, a 22 2•••点M的轨迹为椭圆E,其方程为乡厶三■二1 (除去(土2,(2)以线段PQ为直径的圆经过定点F.下面给出证明:0)).如图所示：设C (x o, y o) , ( X o M 土2),则直线AC白&舌禅* . 一y oV—切+2%_2y0. 氐PF一q_ ]曲'令x=4，则y(x+2), )，二24.如图，已知椭圆C: •' +y 2=1的上、下顶点分别为 A 、B,点P 在椭圆上，且异于点A 、B,直线AP BP 与直线I :4y= — 2分别交于点 M N,(i) 设直线 AP 、BP 的斜率分别为k i 、k 2,求证：k i ? k 2为定值；(ii) 当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.方程组可求解圆所过定点的坐标.(i)证明：由题设椭圆 C :: 4 +y 2=1 可知，点 A ( 0, 1) , B ( 0,— 1).考点： 椭圆的应用.专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： (i)由椭圆方程求出两个顶点 A , B 的坐标，设出P 点坐标，写出直线 AP BP 的斜率k 1, k 2，结合P 的坐标适合椭圆方程可证结论；(ii)设出以 MN 为直径的圆上的动点 Q 的坐标，由」’'J =0列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立直线BC 的方程为: ，令 x=4，则 y Q =2v 0% - 2 kQF=k pF ? k Q =/-4)•••点C (X o , y o )在椭圆3 G a 2-4)解答:k pF ? k Q = —解题的关点评:令P ( x o, y o),则由题设可知x o M 0.从而有 k i ? k 2= ' - °? --- =K0 灯（ii ）解：以 MN 为直径的圆恒过定点（0，- 2+2 ;）或（0，- 2- 2：;）.又 k i ? k 2=-—4令 X =0，则（y+2） 2=12，解得 y= - 2± 2_ 一;.•••以MN 为直径的圆恒过定点（0,- 2+2- J 或（0,- 2 - 2_ ；）.点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有 一定难度题目.5•如图所示，已知圆C : x 2+y 2=r 2（r >0）上点〔1，"引 处切线的斜率为 -亨，圆C 与y 轴的交点分别为 A , B , 与X 轴正半轴的交点为 D, P 为圆C 在第一象限内的任意一点，直线 BD 与AP 相交于点M 直线DP 与y 轴相交于点 N. （1） 求圆C 的方程；（2） 试问：直线 MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.T 点在圆 C ： x2+y 2=r 2上,又点P 在椭圆上，•••+y°2=1 ( 1)事实上，设点Q （x , y ）是以 MN 为直径圆上的任意一点，则 小-「1=0,(y+2) (y+2) =0.•••以MN 为直径圆的方程为X2+ (y+2)-12弋5十考点：直线与圆的位置关系. 专题：直线与圆.分析：（1）根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆 C 的方程;故有（解答:（2）根据条件求出直线 MN 的斜率，即可得到结论.故圆C 的方程为x 2+y 2=4.22(2)设 P (x o , y o ),则 x o +y o =4,易得N(0,迪),kivir =2X2 _ S 2x 0+2y 0 " 4 2y l0■ y 0+2 2- gC2- x D ) (2x o +2y 0 - 4) -2 兀(工口 珂+2)、 ％4s 0 (2- x Q )_4°+4和_£一— 2“牝十 4“ _ 2XQ y c + 2y 02 _知0__-升叮丫 卞十％ _ 2% C2-气) ％(龙-也丿 釦］「.直线碱方程为y=晋尸务化简得(y - x ) xo+ (2 - x ) yo=2y - 2x•••( * )MN 经过定点(2，2).点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算能力.6.二次函数f (x ) =3x 2- 4x+c (x € R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为OC.(1) 求实数c 的取值范围； (2) 求O C 的方程； (3)问O C 是否经过某定点(其坐标与 c 的取值无关)？请证明你的结论.考点：圆的标准方程；二次函数的性质；圆系方程. 专题：直线与圆.分析：(1)令x=o 求出y 的值，确定出抛物线与 y 轴的交点坐标，令f (x ) =o ,根据与x 轴交点有两个得到 c 不为o 且根的判别式的值大于 o ,即可求出c 的范围；(2) 设所求圆的一般方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=o,令y=o 得，x 2+Dx+F=o,这与x 2- x —=o 是同一个方程，求 出D, F .令x=o 得，y 2+Ey+F=o,此方程有一个根为 c ,代入得出E ,由此求得圆C 的一般方程； (3) 圆C 过定点(o , 2)和(世，2),证明：直接将点的坐标代入验证.|33 3解答：解：(1 )令x=o ，得抛物线与y 轴的交点(o , c ),2令 f ( x ) =3x - 4x+c=o , 由题意知：c 丰o 且厶＞ o ,14解得：cv —且CM o ；| ST22直线 BD 的方程为x - y - 2=0,直线AP 的方程为+2且(* )式恒成立，故直线(2)设圆C: x +y +Dx+Ey+F=o,令y=0，得到x?+Dx+F=O,这与 X --!x+J-=O 是一个方程，故 D=-3 3令x=0，得到y 2+Ey+F=0,有一个根为c ,代入得:则圆 C 方程为：x 2+y 2- ^x -（ c+二）y —=0；|333(3)圆C 必过定点(0, 2)和(卫，丄)，理由为3用由 x 2+y 2- —x -( c+—) y+-!=0,3 3 3令y=—，解得：x=0或33 •••圆C 必过定点(0, _)和(一，一).33 3本题主要考查圆的标准方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题.27.如图，抛物线 M ： y=x +bx (b ^ 0)与x 轴交于O, A 两点，交直线l : y=x 于O, B 两点，经过三点 O, A, B 作圆C.(I )求证：当b 变化时，圆C 的圆心在一条定直线上； (II )求证：圆C 经过除原点外的一个定点；(III )是否存在这样的抛物线 M,使它的顶点与 C 的距离不大于圆 C 的半径？考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的一般方程；抛物线的简单性质. 专题：计算题.分析：(I )在方程y=x 2+bx 中.令y=0, y=x ，易得A , B 的坐标表示，设圆 C 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey=0,禾U 用条件fl>b得出，写出圆C 的圆心坐标的关系式，从而说明当b 变化时，圆C 的圆心在定直线y=x+1 上.E=b-2 £2 2(II )设圆C 过定点(m n ),贝U m+n+bm+(b - 2) n=0,它对任意b 丰0恒成立，从而求出 m, n 的值，从 而得出当b 变化时，(I )中的圆C 经过除原点外的一个定点坐标； (III )对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的抛物线M 使它的顶点与它对应的圆 C 的圆心之间的距离不大于圆 C 的半径，再利用不等关系，求出 b ,若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否 则存在.2解答： 解：(I )在方程 y=x +bx 中.令 y=0, y=x ，易得 A (- b , 0), B (1 - b , 1 - b ). . 2 2设圆C 的方程为x +y +Dx+Ey=0,b 2-bD=0?(D=bCi-b) 2+ (1 -b) 莓(1 -b)讯(1 —b)匪o-22 2二 F=_33c 2+cE 已=0,解得:E=- c -3点评: 故经过三点 O, A , B 的圆C 的方程为x +y +bx+ (b - 2) y=0, 设圆C 的圆心坐标为(X 0, y 0),则 x °=—_k, y °=— —，二 y o =X o +1,2 2这说明当b 变化时，(I )中的圆C 的圆心在定直线 y=x+1 上.(II )设圆 C 过定点(m n ),贝U m+n +bm+ (b - 2) n=0,整理得(m+r ) b+m+n — 2n=0,它对任意0恒成立,故当b 变化时，(I )中的圆C 经过除原点外的一个定点坐标为(-1, 1).(III )抛物线M 的顶点坐标为(-上，-匕丄),若存在这样的抛物线 M 使它的顶点与它对应的圆C 的圆24心之间的距离不大于圆 C 的半径，2 2整理得(b - 2b ) < 0,因b 丰0,.・. b=2, 以上过程均可逆，故存在抛物线 M y=x 2+2x ,使它的顶点与 C 的距离不大于圆 C 的半径.点评：本题考查了二次函数解析式的确定，圆的一般方程，抛物线的简单性质等知识点•综合性较强，考查学生 数形结合的数学思想方法.&在平面直角坐标系 xoy 中，点M 到两定点F i (- 1, 0)和F 2 (1, 0)的距离之和为 4,设点M 的轨迹是曲线 C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线I : y=kx+m 与曲线C 相交于不同两点 A B (A B 不是曲线C 和坐标轴的交点)，以AB 为直径的圆过点 D( 2,0),试判断直线I 是否经过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： (1) 由椭圆的定义可知，点 M 的轨迹C 是以两定点F 1 ( 1, 0)和F 2 (1, 0)为焦点，长半轴长为 2的椭 圆，由此可得曲线 C 的方程；(2) 直线y=kx+m 代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以 AB 为直径的圆过点 D (2, 0),即可求得结论.解答： 解：(1 )设M(x , y ),由椭圆的定义可知，点 M 的轨迹C 是以两定点F 1 (- 1, 0)和F 2 (1, 0)为焦点， 长半轴长为2的椭圆•••短半轴长为.-- ■---=：；(2)设 A (X 1, yj , B (X 2, y 2),贝 V. . 2 2 2直线y=kx+m 代入椭圆方程，消去 y 可得(3+4k ) x +8mkx+4 (m - 3) =0 …X 1+X 2= - ---3+4k 2•••以AB 为直径的圆过点 D(2, 0), • k AD<B[= - 1• y 1y 2+X 1X 2 - 2 ( X 1+X 2) +4=0,X 1X 23+4 k 2 • y 1y 2= (kx 1+m ) (kx 2+m3 d41?)3t4k 2^=0 ? fuT - 1』'+口 2 - 2n=0 [n=l•••曲线C 的方程为3 Cm2 -4k2).4 Cm2 -3)_l 16A u_n3+4 k2'3+4k2十O T 4—U3+4k22 2/• 7m+16mk+4k=0 /• m=- 2k 或m=-，均满足厶=3+4k2- n i> 07当m=- 2k时，I的方程为y=k (x - 2),直线过点(2, 0),与已知矛盾；当m=——时，I的方程为y=k (x-丄)，直线过点(丄，0),7 n 7直线I过定点，定点坐标为(J, 0).点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.2 29. (2013?温州二模)如图.直线I : y=kx+1与椭圆G:丄亠丫一二1交于A, C两点，A. C在x轴两侧，B,16 42 2D是圆C2: x +y =16上的两点.且A与B. C与D的横坐标相同.纵坐标同号.(I )求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB| -|CD||的取值范围；(II )试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由.12=0,^> 0恒成立,2 2? (4k +1) x +8kx -考点：专题：分析：直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式.综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.(I )设A (x i , y i) , B (x i , y2),分别代入椭圆、圆的方程可得解答:由y1, y2同号得y2=2y1，设C (x a, y a), D( x a, y4),同理可得y4=2y3,联立直线与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由A C在x轴的两侧，得y i y a v 0,代入韦达定理可求得k2范围，而||AB| - |CD||=||y i| -2|y a||=|y i+y a|=|k (x i+x a) +2|，再由韦达定理及k范围即可求得答案；(II )由斜率公式求出直线BD的斜率，由点斜式写出直线BD方程，再由点A在直线I上可得直线BD方程, 从而求得其所过定点.(I )证明：设A (x i, y i), B (x i, y2),2 2x l+4^l =1G2 2 亠+y2=16•••y i, y2同号，二y2=2y i,设C ( X3, y3), D (X3, y4),同理可得• |AB|=|y i| , |CD|=|y 3I ,根据题意得:y4=2y a,2轨迹C 是以(-2, 0)为圆心，2为半径的圆(3分)(2)设过点B 的直线为y=k ( x - 2).圆心到直线的距离Vk^+1(7 分)(3)假设存在，联立方程2得 2x +2 ( m+2 x+n i =0V ，- |CD||=||y i | - |y 3||=|y i +y 3|=|k (xg) +2|=__4k 2+l(II )解：•••直线 BD 的斜率k ，3? _ 站吧_ K 1 •直线 BD 的方程为 y=2k (x - x i ) +2y i =2kx - 2 (kx i - y i ),•••y i =kx i +1,.・.直线 BD 的方程为 y=2kx+2 ,•直线BD 过定点(0, 2).点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，本题中多次用 到韦达定理，应熟练掌握.10.已知A (- 1 , 0), B (2, 0),动点M(x , y )满足独/二，设动点 M 的轨迹为C.|MB| 2(1) 求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹 C 是什么图形； (2) 求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3) 设直线I : y=x+m 交轨迹C 于P, Q 两点，是否存在以线段 PQ 为直径的圆经过 A ?若存在，求出实数 m 的值; 若不存在，说明理由.考点： 轨迹方程；圆方程的综合应用. 专题： 综合题；探究型. 分析：解：(1 )先将条件化简即得动点 M 的轨迹方程，并说明轨迹 C 是图形：轨迹 C 是以(-2, 0)为圆心，2 为半径的圆.(2)先设过点B 的直线为y=k ( x -2).利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得 k 的取值范围，从而得出动点M 与定点B 连线的斜率的最小值即可；若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在.••• A C 在 x 轴的两侧，••• y i y 3<0,••( kx i +1) (kx 3+1) =k X i X 3+k (X 1+X 3) +1=—4k 2+lV 0,=2k .(3) 对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段 PQ 为直径的圆经过 A ,再利用PAL QA 求出m 的长,解答:化简可得(x+2) 2+y 2=4.k min =2 设P (X1, yj , Q (X2, y2)贝U X1+X2= - m- 2, X1X2=^L2PA丄QA ■'■( X1+1) (X2+1) +yy2= (X1+1) (X2+1) + (X1+m) (X2+m =0,2 22X1X2+ ( m+1 (X1+X2) +m+1=0 得m - 3m- 1=0,彳土7/^且满足△、o..・. '士(12分)ILL 2| ll^ 2点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法•本题是利用的直接法•直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.11.已知定直线I : x= - 1,定点F (1, 0) , O P经过F且与I相切.(1)求P点的轨迹C的方程.(2)是否存在定点M使经过该点的直线与曲线C交于A B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：直线与圆.分析：(1)由已知得点P的轨迹C是以F 为焦点，1为准线的抛物线，由此能求出点P的轨迹C的方程.(2)设AB的方程为x=my+n,代入抛物线方程整理，得：y24my- 4n=0解答：解：(1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线1的距离相等，•••点P的轨迹C是以F为焦点，1为准线的抛物线，•••点P的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设AB的方程为x=my+n,代入抛物线方程整理，得：2y - 4my- 4n=0,设A (X1, yj , B (X2, y2),则，,71^2=^ 4n•••以AB为直径的圆过原点，• OALOB2 2y 1…丫1丫2+乂很2-0,••比¥ 2 + 4 Q 二° ,• y1y2= - 16,••- 4n= —16,解得n=4,点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用.12.已知动圆P与圆M: (x+1) 2+y2=16相切，且经过M内的定点N( 1, 0).(1)试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；(2)设0是轨迹C上的任意一点(轨迹C与x轴的交点除外)，试问在x轴上是否存在两定点A, B,使得直线OA 与0B的斜率之积为定值(常数)？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由.考点：圆方程的综合应用；圆与圆的位置关系及其判定.分析：(1)利用动圆P与定圆(x- 1) 2+y2=16相内切，以及椭圆的定义，可得动圆圆心P的轨迹M的方程；(2)先设任意一点以及A B的坐标，k QA? k Q=k (常数)，根据轨迹方程列出关于k、s、t的方程，并求出k 、s 、t 的值，即可求出结果.解答： 解：（1）由题意，两圆相内切，故，|PM|=4 -|PN|，即|PM|+|PN|=4 .又••• MN=2C 4•动圆的圆心 P 的轨迹为以 M N 为焦点，长轴长为 4的椭圆.2 2动点P 的轨迹方程为 丄+「-1 .设 A ( s , 0), B (t , 0), k QA ? k QB =k (常数)二 kQA ? kQE=n—j.,— …-X[l ~ S ~-^0~ （計4 [牝- （s+t ） Xg+St ]2整理得（4k+3） x o - 4k （s+t ） x o +4 （kst - 3） =0 由题意，上面的方程对（-2, 2）内的一切x o 均成立••• 4k+3=o ，- 4k （ s+t ） =o 且 4 （ kst - 3） =o解得 k= -J, s=2, t= - 2，或 s=- 2, t=24•••在x 轴上只存在两定点 A （2, o ）、B （- 2, o ）使得直线 QA 与QB 的斜率之积为定值-—.4点评： 题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法以及斜率的求法，解题时要注意公式的灵活运用，此题有一定难度.13. （2oio?盐城二模）已知在△ ABC 中，点 A B 的坐标分别为（-2, o ）和（2, o ）,点C 在x 轴上方.（I ）若点C 的坐标为（2, 3）,求以A B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程； （H ）若/ ACB=45，求△ ABC 的外接圆的方程；（川）若在给定直线 y=x+t 上任取一点P ,从点P 向（H ）中圆引一条切线，切点为 Q 问是否存在一个定点 M 恒 有PM=PQ 请说明理由.考点：椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用.2 2又c=2，所以b=2二故所求椭圆的方程为(n)因为 丄L=2R 所以 2R=4 ■：,即 R=2 ：■sinC又圆心在 AB 的垂直平分线上，故可设圆心为（0, s ） （s > 0）,2 2 2则由4+S=8,所以△ ABC 的外接圆的方程为 x+ （y - 2） =8（川）假设存在这样的点 M （m, n ）,设点P 的坐标为（x , x+t ）,因为恒有PM=PQ 所以（x - m ） 2+ （x+t、2 2, 、 2-n ） =x + （x+t - 2） - 8 ,2 2(2)设点 Q ( x o , y o ),则4_ , x o 工土22珂 _Zo ____________ 珂12-3KQ专题：计算题；存在型. 分析：（I ）根据椭圆的定义和（n ）先用正弦定理可知得.（川）假设存在这样的点AC BC 求得椭圆的长轴，进而根据 c 求得b ,则椭圆的方程可得.=2R ,进而求得R,设出圆心坐标，根据勾股定理求的s ，则外接圆的方程可sinCM （ m, n ）,设点P 的坐标，进而根据 PM=PQ 求得关于x 的方程，进而列出方程组，消去m 得到关于n 的一元二次方程，分别讨论当判别式大于0或小于等于0时的情况. 解答: 解：（I ）因为AC=5BC=3所以椭圆的长轴长2a=AC+BC=8即（2m+2n- 4）x -（m+n - 2nt+4t+4 ）=0,对x € R,恒成立，从而-1-1-，消去 m 得 n 2-( t+2) n+ 冷 2 in 2 - 2nt-F4t+4=0因为方程判别式厶=t 2-4t - 12，所以 ①当-2V t v 6，时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点M ②当t > 6或t <- 2时，因为方程有实数解，且此时直线 y=x+t 与圆相离或相切，故此时这样的点 点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系•考查了学生综合分析问题的能力.(2t+4 ) =0M 存在.。