高中数学-反证法练习
基础达标(水平一)
1.若a,b,c不全为0,则只需().
A.abc≠0
B.a,b,c中至少有一个为0
C.a,b,c中只有一个是0
D.a,b,c中至少有一个不为0
【解析】a,b,c不全为0,即a,b,c中至少有一个不为0.
【答案】D
2.若两个数之和为正数,则这两个数().
A.一个是正数,一个是负数
B.都是正数
C.至少有一个是正数
D.都是负数
【解析】这两个数中至少有一个是正数.否则,若这两个数都不是正数,则它们的和一定是非正数,这与“两个数之和为正数”相矛盾,故选C.
【答案】C
3.有以下结论:
①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是().
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确;②的假设错误
D.①的假设错误;②的假设正确
【解析】用反证法证明问题时,其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q>2”;②的假设为“两根的绝对值不都小于1”.故①的假设错误,②的假设正确.
【答案】D
4.若a2+b2=c2,则a,b,c().
A.都是偶数
B.不可能都是偶数
C.都是奇数
D.不可能都是奇数
【解析】假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,因此a2+b2为偶数,而c2为奇数,即
a2+b2≠c2,这与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,所以a,b,c不可能都是奇数.
【答案】D
5.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设.
【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x=a或x=b”.
【答案】x=a或x=b
6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误;
②所以一个三角形不能有两个直角;
③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.
上述步骤的正确顺序为.
【解析】由反证法证明的步骤,知先反证,即③;再推出矛盾,即①;最后做出判断,肯定结论,即②.所以正确的顺序应为③①②.
【答案】③①②
7.过平面α内的一点A作直线a,使得a⊥α,求证:直线a是唯一的.
【解析】假设直线a不唯一,则过点A至少还有一条直线b,使得b⊥α.
因为直线a与直线b是两条相交直线,所以直线a与直线b可以确定一个平面β.
设α和β相交于过点A的直线c,
因为a⊥α,b⊥α,所以a⊥c,b⊥c.
因此,在平面β内,过直线c上的点A就有两条直线a,b垂直于直线c,这与“平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线”矛盾,所以假设不成立,
故直线a是唯一的.
拓展提升(水平二)
8.设a,b,c为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的().
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】若P>0,Q>0,R>0,则必有PQR>0;反之,若PQR>0,也必有P>0,Q>0,R>0.因为当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则P,Q,R中必有两个负数,一个正数.不妨设P<0,Q<0,R>0,即
a+b<c,b+c<a,两式相加得b<0,这与已知b为正实数矛盾,因此必有P>0,Q>0,R>0.
【答案】C
9.已知a,b,c∈(0,1),则对于(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,下列说法正确的是().
A.不能同时大于
B.都大于
C.至少有一个大于
D.至多有一个大于
【解析】假设三个式子同时大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三式相乘得
(1-a)b(1-b)c(1-c)a>. ①
因为0<a<1,所以0<a(1-a)≤=.
同理,0<b(1-b)≤,0<c(1-c)≤.
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤. ②
因为①与②矛盾,所以假设不成立,故选A.
【答案】A
10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中一位获奖.有人走访了这四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是.
【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.
【答案】丙
11.已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证:,,不能构成等差数列.
【解析】假设,,能构成等差数列,则有=+,即bc+ab=2ac. ①
而由a,b,c构成等差数列,得2b=a+c. ②
联立①②两式,得(a+c)2=4ac,即(a-c)2=0,于是得a=c,这与a,b,c构成公差不为0的等差数列矛盾.故假设不成立,因此,,不能构成等差数列.。