由「超材料」到「变换光学」的发展简史与基本原理「超材料」(Metamaterial) 并不是一个定义得很清楚的术语,其中的字根"meta" 意指「超越」,相当於英文的"beyond".一般而言,此一术语意指一些特别设计的人工结构,能像均匀材料那样对电磁场(波)或声波,弹性波反应(response),但却具有天然材料所没有的反应特性[1].这些特性包括:高频人工磁性(artificial magnetism) [2], 负磁导率(negative permeability) [3], 负折射指数(negative index of refraction) [4], 以及双曲型色散关系(hyperbolic dispersion) [5,6] 等.这些有趣的特性导致一些迷人的现象,例如负折射(negative refraction) [7], 次波长成像(subwavelength imaging) [8], 电磁场增益(field enhancement) [9], 以及近场—远场转换(near-to-far field conversion) [5,6] 等.根据这些现象,在过去数年已有许多新颖的元件被设计与制作出来,并已被测试.例如超透镜(superlens) [8,10], 双曲透镜(hyperlens) [6], 工作频率在微波频段的隐形斗篷(invisibility cloak) [11], 以及电浆子波导(plasmonic waveguide) [12] 等.这些工作显示了超材料研究在微波与光波研究方面都有很好的理论与应用前景.研究超材料的最初目的主要是为了创造一种具有很强的高频磁响应(strong magnetic response at high frequency) 特性的人工材料或结构[2].当这个目的实现后,研究人员又成功的设计并制作了能同时具有等效负磁导率与负介电常数(negative permittivity) [13] 的周期性金属结构.此种「双负」(double negative, or DNG) 材料会具有等效的负折射率[3,4],因而可以具体实现V. G. Veselago 在40 年前[7] 就预测过的「把光折向错误的方向」(bending light the wrong way)—亦即负折射现象. 在2000 年,英国Imperial College 的John B. Pendry 教授更进一步指出:一块具有负介电常数与负磁导率的平板材料不只可以将传导波(propagating waves) 「折向错误的方向」,甚至还可以放大消逝波(evanescent waves) [8].当平板的与值都非常接近的时候,平板与真空的电磁阻抗值(electromagnetic impedance) 几乎相等,所以此平板将不反射电磁波.另一方面, 与值都非常接近也表示与的虚部(imaginary part) 非常小,所以平板介质不吸收电磁波.此时若将一个点光源(其周围的光场同时具有传导波与消逝波) 靠近此平板,则此平板将会成为一个透镜.此透镜藉由抵消传导波的相位累积(phase accumulation) 与放大消逝波而将来自点光源的所有光聚焦至一个宽度远小於波长的像(此现象称为次波长成像, subwavelength imaging),因而可突破绕射极限(diffraction limit) [8,9].这种次波长成像效应又称为超透镜效应(supelensing effect) [14].此效应的关键是消逝波的增益或放大,而此增益现象其实是来自於点光源之近场(即点光源光场中的消逝波成份) 与沿著平板表面传播的「电」(对应於) 与「磁」() 版本的表面电浆—偏极子波(surface plasmon-polariton waves) 的耦合[15].有鉴於此,Pendry 进一步论证:若点光源发出的是TM 波(磁场与平板表面平行,但电场具有垂直於平板表面的分量),既使平板介质不是「双负」介质,而只有(为接近 1 的正值),只要满足准静态条件(quasistatic condition, 即波长远大於平版厚度以及点光源至平板的距离),次波长成像依然会发生[8].依据这个想法,一片够薄的银薄膜(厚度约为几十个奈米) 就可以做到次波长成像.这些能够次波长成像的平板透镜,一般被称作「超透镜」(superlens) [10].这些早期的发展吸引了大量的研究人员投入了相关现象的理论分析,数值模拟,以及实验测试,并在最后确认了负折射现象与次波长成像效应在微波频段的真实性[9-10].最近几年的发展更近一步验证了部份超材料概念在更高频段,甚至是光学频段的有效性[16].然而,超材料概念其实有许多微妙之处(subtleties);这些微妙之处在媒体的报导中虽然经常被忽略,却是研究者必须面对并解决的问题[15-17].例如,虽然超透镜能将点光源的光聚焦为一个次波长的光点,但由於此聚焦的主要机制利用的是消逝波,因此成像几乎都在近场的范围[19].这会使得次波长的成像无法用ㄧ般的光学元件做进一步处理与分析.1除了负折射与次波长成像之外,超材料还有许多有趣的应用.此处说明其中的两项:双曲透镜(hyperlens) [5,6] 与隐形斗篷(invisibility cloak) [11,20,21].双曲透镜可以说是改良式的超透镜.点光源的近场光(次波长光源) 可穿透双曲透镜在其中传播,并在「出射端」被转换成传导波,最后在远场区(far field zone) 形成点光源的放大实像,如此即可避免超透镜那种只能在近场成像的缺点.目前设计的双曲透镜都是将一维光子晶体(1D photonic crystal) 卷成多层圆柱结构(multilayered cylindrical structure) 而制成的,并且只能在TM 波的情况下使用.用於制造双曲透镜的一维光子晶体,在每一个空间周期中包含有一层负介电常数材料(通常是金属) 以及一层正介电常数材料.此一维光子晶体的工作频率经过适当选择,使其满足以下条件.1. 工作波长至少要比晶格常数(空间周期) 大许多倍(通常需要10 倍以上),使得此多层结构可近似於一个均匀介质,如此才可直接套用超材料概念,以原来的一维光子晶体的等效介质行为去预测弯曲结构的行为.2. 各层介质之介电常数的虚部都要够小,使吸收效应可以忽略.3. 在一个周期中的两种介质层的厚度比要适当选择,使得沿周期方向与平行於介质层表面所对应的平均等效介电常数之符号相反.4. 层数不能太少.层数太少时,近场光虽然可耦合入此透镜中并在其中传播,但在出射端将无法被转换为传导波(后面会再做进一步说明).一个设计良好的双曲透镜所成的放大实像可以用传统光学元件处理与分析,因此较超透镜方便许多.然而,双曲透镜目前只能用於TM 波(磁场平行於圆柱轴),且几何结构都是圆柱形,因此还有需要改进的空间(见Fig.1).Fig.1 可在远场成放大实像的双曲透镜(Images courtesy the Zhang Lab, UC Berkeley)接下来介绍「隐形斗篷」(invisibility cloak) [11,20,21].所谓隐形斗篷,就是用适当电磁材料所制成的一个「壳」,而藏在这个壳里面的物体不但不会被外界看到,连这个壳本身都不能被外界看到.入射到隐形斗篷的光线不会被散射,而是会沿著这个壳绕过.这些光线於绕过斗篷后会沿著入射前的轨迹传播,并且不产生壳的阴影.在这个过程中,由於光线不会穿透进入中心的空腔,所以藏在空腔里的物体不会与外界有电磁交互作用.John B. Pendry 等人已於2006 年的Science 杂志上发表了一个符合Maxwell 方程式的隐形斗篷理论[11].根据此一理论,在连续与平滑的任意坐标变换之下,Maxwell 方程式的形式可以维持不变,代价是介电常数与磁导率的表达式可能会变得很复杂—一般而言它们会变成非等向的(anisotropic) 与非均匀的(inhomogeneous).更精确一点说,它们都是所谓的张量密度(tensor densities) [22,23].对於这个座标变换可以采用以下两种观点做解释[24].第一种:空间,电磁场,介质都没有变,只是座标系的选择被改变了(就像把笛卡儿座标换成球座标),因此介质相对於座标系的表现(representation) 改变了.第二种:空间,介质与电磁场都改变了,但坐标系没变.隐形斗篷的设计关键,即在於先采用第一种观点做座标变换,再将变换结果用第二种观点解释.由於在变换之后的介质与原来的介质之间存在著一对一的对应关系,因此光线在转换后介质(transformed medium) 的轨迹也只不过是转换前那个轨迹的座标变换.根据这个想法,可以选择真空做为转换前的介质空间(真空对光线不散射,也不制造阴影),而埋(embedded) 在其中的一颗真空球作为座标变换的操作范围,将此球转换为一个壳,并采用第二种观点去解释,就完成了一个隐形斗篷的设计了.杜克大学(Duke University)的科学家已经制造出了一个可在微波频段下几乎隐形(还是有部份的散射) 的二维隐形斗篷[20].为了在实验上较容易制作,此斗篷所采用的介电与导磁参数并非直接根据座标变换所得的理论参数,而是将它们换成了另一组现阶段在实验上就做得到的参数,称为约化参数(reduced parameters).光线在这个以「裂环共振器」(split-ring resonator) 的环状周期阵列设计成的约化参数斗篷中(壳区) 的传播轨迹会与理想斗篷的一致,但约化参数斗篷外表面与真空的阻抗不会完全匹配,因此还是会有一些散射,并不是百分之百隐形的[20].上述这些关於隐形斗篷的理论与实验研究解放了科学家的想像力,激起了一股隐形斗篷与超材料的研究热潮.一个更好的二维斗篷或是三维斗篷,甚至是光学隐形斗篷的实现,似乎都是很有希望的.除了上述这些发展外,还有许多相关的研究工作,此处仅举数例:1. 以光子晶体(photonic crystal) 与声子晶体(phononic crystal 或sonic crystal) 平板实现电磁波与声波的负折射及次波长成像[25-27]; 2. 利用水池底高度的周期变化影响水波的传播,使其产生负折射及次波长成像[28]; 3. 声波超材料与声波隐形斗篷[29-32]; 4. 物质波(量子波) 超材料与隐形斗篷[33]; 5. 电浆子(波) 相关的现象研究与元件设计[34].隐形斗篷理论与实验的发展,不仅打开了研究者的眼界,更将超材料的研究带入了一个全新的时代.「超材料」早已不只是「人工磁性材料」或「负折射光学材料」的代名词,而是用以建构更复杂的「非均匀」,「非等向」电磁材料的「砖块」或「晶胞」(unit cells of a crystal).当人们能设计具有任意介电常数与磁导率的「砖块」,又能够确认这些「砖块」的局部组合具有跟砖块本身一样的电磁特性(此点已获得部份的成功),那麼只要连续地改变放在不同位置的「砖块参数」(电磁参数与局部指向),就可以建构出任何可能的电磁介质,实现理论上所讨论的座标变换介质(transformed medium).这个迷人的可能性催生了一门新学问的诞生,这个仍然没有明确定义的学术领域目前暂时被称作「变换光学」(transformation optics) [35].此外,由於负折射或次波长成像等相关现象都已被证明可在声波,弹性波(固体中的声波) ,水波,量子波以及电浆波等系统中实现,因此适用於上述这些波系统的「变换波动学」( wavics) 或许也是可能的.这类的研究成果的数量正以非常惊人的速度成长,值得持续关注. B. 对超材料相关原理的补充说明在这一小节里,我们补充一些对於前述各项研究的基本原理说明.负介电常数,负磁导率与负折射我们先解释为何负与负会导致与负折射.根据Fig. 2,假设入射电场落在纸面上(红色箭头),磁场垂直於纸面(以符号表示),此外,还假设反射波够小,可被忽略.由於 E 场,H 场平行於界面的分量,以及 D 场,B 场垂直於界面的分量要连续,且在介质中与反平行, 也与H 反平行,所以 E 场平行於界面的分量以及整个H 场在穿过界面后都保持不变,但E 场垂直於界面的分量要变号,这就导致了能流密度的负折射(根据Snell's law 的定义).利用类似的分析也可以解释电场垂直於纸面的情形,只需把电场与磁场的角色换过来.由於在左手介质中波向量与能流反平行(根据),且平面波的相位在界面处必须连续,因此入射波(在真空中)与折射波(在左手介质中)的波向量之平行於界面的分量是相等的,而垂直於界面的分量则会变成反向. Fig.2 左手介质的负折射现象.水平黑线以上是左手介质,其,.事实上,在这一段讨论中,若只是要论证能流(Poynting vector) 的负折射,并不须要有的限制.此限制的两个意义是: 1. 当时,与的方向相反, 导致相位波(phase wave) 与能流都是负折射(根据Snell'slaw) . 2. 折射率是实数,代表电磁波真的可以穿透入此介质而不是完全被反射掉.若要在达成能流的负折射,就必须使用具有两个异号介电常数主值(,与各表示平行与垂直於真空—介质界面的介电常数主值) 的非均向介质.此时将指向正折射的方向,亦即相位波是正折射的.此类非均向介质可以用金属—介电质或半导体—介电质的层状结构(一维光子晶体) 来实现.次波长成像与消逝波以一个二维的点光源(亦即三维的线光源) 为例.此光源周围的电场是一个Hankel 函数(零阶, 第一类),它可以被表示为一个Fourier 积分,积分变数是横向波向量( y 方向平行於平板表面).由於在真空中波向量满足,因此积分之中对应於的Fourier 分量具有实数的值,属於传导波;而的Fourier 分量具有虚数的值,属於消逝波.由於相当於「磁」版本的表面电浆偏极子波被激发(具有较光锥边界更大的,即) 的条件,因此次波长成像(的Fourier 分量有重要贡献) 可说是藉著点光源的消散波成份激发介质的表面电浆偏极子波而达成的.如何实现负介电常数与负磁导率等效介质实现负等效介质的方法比较简单与直接.通常是找一种本来就具有负特性的介质(例如金属) 与正介质做周期式的混合,使得混合后的平均介质仍具有负特性.混合后的等效介电常数通常并不是直接按两种介质的混合比率(体积比) 求平均,而是必须考虑其它相关的物理效应与几何结构的影响.例如以细金属线的二维周期阵列所形成的等效电浆介质,其电浆频率是由公式所决定[36].其中是金属线的电子浓度乘以面积比率;这部份的确是按照比例的平均.但公式中的电子等效质量并不是电子原来的质量,而是与电子浓度以及金属线半径与晶格常数的比值有关.仔细比较细金属线阵列与原来的Drude 模型可发现这两者的差异:细金属线具有很大的自感(self inductance),亦即金属线的感应电流在其周围产生很强的磁场,而这是在原来的Drude 模型中是不存在的(因其电荷密度与电流密度皆均匀分布).若将对应於此磁场的磁场能(magnetic field energy) 等效为一个假想的动能,就又能以Drude 模型处理了,但此时电荷原来的质量必须被上述的等效质量所取代.上述创造等效负介电常数的一个关键是组合介质中具有可自由移动的电荷,这些电荷对於外加的时变电场有强列的反应.由於自然界中不存在磁荷,因此设计负磁导率介质必须采用不同的方法.根据场(磁感应magnetic induction),场(磁场magnetic field) 与场(磁极化强度magnetization) 的关系式可知,若能利用共振效应使,则 B 与H 的方向就会相反,使.由於磁极化强度就是单位体积内的总磁矩,而磁矩就是电流环,因此,只要把「在外加时变磁场影响下会造成电流共振的环」排成周期阵列,就有机会实现负磁导率介质.实验上,通常是以「裂环共振器」(split-ring resonator,简称SRR) 来达成此共振效应[1].每个裂环的裂口或是双层裂环之间的缝隙提供了主要的电容效应,而环所围住的面积以及此面积与晶胞面积的比值决定了环的自感与互感效应,因此每一个环都是一个LC 共振器,具有一个共振频率.当外加时变磁场的频率接近时,共振环阵列中的每一个环的感应电流都变得很强,使条件成立,达成等效的负磁导率.负介电常数也可以藉裂环的电荷共振而达成,但此种裂环的设计将与「磁版本」的不同.此外,对於接近光学频率的负等效介质,其电磁共振结构的设计会略有不同(例如fishnet 渔网结构),但其利用共振的基本概念则维持不变.具有异号介电常数主值的一维光子晶体等效介质前述 1. 的讨论提到在磁导率的情况下可用具有异号介电常数主值(,与各表示平行与垂直於真空—介质界面的介电常数主值) 的非均向介质实现能流的负折射.此种异向性介质可用金属—介电质一维光子晶体实现.假定周期是沿x 方向,入射面是xy 平面,入射光是TM 波(P 波,磁场指向z 轴) ,金属层与介电质层的介电常数分别是与,厚度则是与,周期是.根据波相位的连续性,每一层介质的相同,对应的则是与,并用表示Bloch 波数(Bloch wave number).当波长远大於晶格常数时(,,,以及全都趋於0),根据一维光子晶体频带的色散关系式(dispersion relation):可导出等效色散关系, 其中,定义,,,,即可得等效非均向介质的色散关系适当选择金属层的比率或是频率(因为是频率的函数),即可实现同时具有正负号介电常数主值的非均向性等效介质.以的情况为例,上述的色散关系就具有以下的双曲线型式:此种形式的色散关系意味著真空中的传导波() 与消散波() 可以同时耦合入此种介质中,形成介质里的传导波(对於有限的,与可以是任意大的实数).因此,与超透镜类似,当此介质平板靠近一个点光源时,平板的另一端可以成像.但若要成像宽度落在次波长范围,点光源必须靠平板够近,而成像也会落在近场范围.双曲透镜原理简单的说,双曲透镜就是将上述 4. 里所谈的非均向性介质卷起来,形成环状的结构,具有介电常数,而色散关系变成.此时一个靠近此环内边界的点光源,可以将其近场光(相当於次波长的「资讯」(information)) 耦合入此介质中形成传导波.但与「平板」不同的是,圆环结构的光场计算是以Bessel 与Neuman 函数为基底,此时会随著半径增加而缩小,m 是Bessel 或Neuman 函数的阶数.若环的外半径够大,使得,就可使出射光转换为真空中的传导波,亦即远场光.这使得双曲透镜较超透镜方便许多,因为出射端(环的外边界) 呈现的是点光源的远场放大实像,可以直接用传统的光学元件做进一步的分析与处理[5,6].环状隐形斗篷的参数设计此小节对二维环状隐形斗篷的参数设计做一介绍.按以下转换公式,将一个半径为b 的圆盘转换为一个内半径为a,外半径为b 的圆环(rb 的范围都不需转换) [11]:转换前后对应的线元(line elements) 为与;两者透过以下的Jacobian 矩阵连系起来:利用介电常数与磁导率的座标转换公式(假定两者有相同的主轴) ,并代入(真空),就得到以下的设计参数:此处已将转换后介质各符号的撇号去除.二维声波系统与电磁系统的等价性二维的声波(压力波) 系统与电磁波系统存在著一对一的对应关系,理解此点,将对理解二维声波隐形斗篷的参数设计大有帮助.由於在二维电磁波系统中,S 波(又称 E 偏振波,电场 E 垂直於所讨论的二维平面) 与P 波(又称H 偏振波,磁场H 垂直於所讨论的二维平面) 是不耦合的(uncoupled),所以可以分开讨论,且此两者与声波皆满足以下的波方程式[25]:其中是介质中的波速,而在这三种波的情况下分别是,,与(其中的是压力,是质量密度).C. 超材料的物理限制以及声波版超材料由於超材料大多是由周期排列的金属或介电质所构成,因此其本质上可视为是一类光子晶体(photonic crystals).超材料与一般光子晶体最大的不同,或许是在於其呈现超材料特性时的工作波长要较晶格常数(lattice constant,即空间周期) 大几倍(约5 至10 倍),且通常较光子晶体呈现其「带隙效应」(band gap effect,约2 倍),「超稜镜效应」(superprism effect,小於3 倍) ,「负折射」(negative refrcation,约3 倍) 以及「全角域能流负折射」(all-angle negative refraction,约5 倍) 时的工作波长大一些.这个较大的工作波长(或是更小的晶格常数),使超材料较一般的光子晶体更像均匀介质,因此由其所构成之元件的特性(例如超透镜与双曲透镜) 似乎较光子晶体元件更容易从直观上预测及掌握,也更有可能实现「变换光学」所要求的多样化的电磁介质参数.理想的超材料应该有远大於晶格常数的工作波长,且最好能做到其等效介质参数与电磁波的传播方向,电磁场的偏振方向,以及空间维度无关.然而,实际上的例子却显示上述的诸项要求很难做到.理由即在於:强烈的非均向性(例如双曲透镜) 或是强烈的共振反应(例如SRR 阵列) 通常会与上述的诸项要求不相容.以SRR 阵列为例,假定每个裂环(双层环) 的半径为r.要让这个环在外加时变磁场的影响下有强烈反应,外加磁场的波长就应接近此环周长的两倍(此时围绕此环的电流分布近似於一个正弦函数,在两个裂口处为0;电荷分布则是余弦函数,亦即半圈为正,半圈为负,且内外环电荷相反),即.若此环直径近似於晶格常数a (环要够大才有强反应), 则估计的波长是,大约是晶格常数的 6 倍,与目前已知的实验结果相吻合.这个分析显示超材料的工作波长与晶格常数的比值可能是有限制的,但究竟是否存在一个物理极限,目前还没有答案.对应於LC 振荡电路的力学系统就是质块—弹簧系统.藉著将弹性系数或质量密度差异较大的声学介质巧妙地组合起来,就可以创造类比於SRR 的声学版共振器.研究者已从理论与实验上证明可以设计出具有等效「负动力学质量」(negative dynamic mass) 与「负弹性系数」(negative modulus) 的声学超材料,甚至声学版双曲透镜也已被设计出来.或许在不久的将来,声学版的隐形斗篷也可以制造出来,如此将可以躲避声纳的侦测,在军事上的用途十分看好.超材料研究的困难与疑问分析当前超材料之研究,有以下之困难与疑问:1. 微波频段的超材料通常是由导电性元件的周期阵列所构成,例如裂环共振器,金属线等.这些元件的设计是使其具有恰当的电感与电容,以及由此而得到的适当的共振频率,但导电性元件通常都有不可忽略的电阻,所以也一定会有能量耗散(energy dissipation) 的问题.目前设计之近光学频段的金属性超材料仍然无法避免吸收问题.若将来这个缺点无法避免,将使超材料的使用范围受限.2. 目前对超材料的研究较少涉及「空间色散」(space dispersion) 问题,亦即通常忽略晶格结构的影响,而将超材料视为均匀材料.然而,正如前述分析所指出的,目前已实现的超材料设计,其工作波长大约只有晶格常数的 5 至10 倍,因此空间色散效应必定会对超材料的特性有所影响.此种影响的程度与范围有必要在将来的研究中进一步厘清.3. 由於目前对超材料的研究倾向於采用等效介质的描述方式,因此超材料的「频带结构」(frequency band structure) 并未被深入研究,研究者对其所知较少.根据光子晶体的研究经验,要对超材料的特性有更深入的了解,势必要详细研究其频带结构与传播模态(propagating modes).4. 由於超材料与光子晶体都可以具有「负折射」或「次波长成像」等一般均匀介质不具备的特性,因此两者之间的类似性或许并不受。